| 弧长和扇形面积 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1．弧长公式：
n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：
2．扇形面积公式：
（1）
和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：
．
（2）
将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：
这一公式酷似三角形面积公式．为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看成底边上的高即可．
典例讲解
1、直接运用两个公式计算
例1、如图，△ABC是正三角形．曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中
、
、
…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接．如果AB=1，那么曲线CDEF的长是多少?
思路点拨：
曲线CDEF由三段弧组成，每段的圆心角都是120°，但半径不同．
解：
该曲线由三段弧组成，即
、
、
，且每段弧所对的圆心角都为120°，
∴曲线CDEF的长为
例2、若一个扇形的弧长是12π，它的圆心角是120°，那么这个扇形的面积是多少?
思路点拨：
从两个扇形面积公式
知，若已知l与n，求面积，不管用哪个公式，都要先求半径r．
解：
2、用割补法求图形的面积
例3、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AC=2，∠CAB=30°．求图中阴影部分面积．
思路点拨：
连接OC，过弧的端点作半径，将阴影部分分割成一个扇形和一个三角形．
解：
连接OC，并作OD⊥AC于D．
∵∠CAB=30°，OD⊥AC，
∴AD=1，OA=2OD．
∴在Rt△AOD中，
，
∴OA=
．
而∠BOC=2∠BAC=60°，
3、用等面积变换求图形面积
例4、如图，AB为半圆O的直径，C、D为半圆弧的三等分点．若AB=12，求阴影部分的面积．
思路点拨：
在图中△ACD与△OCD是等底等高的，∴S△ACD=S△OCD．
解：
连接CD、CO、DO．
∵C、D为半圆弧的三等分点，
∴
，CD//AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴
．
例5、如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE的点C、E、D分别在OA、OB、
上，过点A作AF∥CD交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，求阴影部分的面积.
解：
连接DO，∵正方形OCDE中∠DCO＝90°，
∴OA＝OD＝
．
∵ OC＝1，∴CA＝OA－OC＝
－1．
由对称性知S阴=S矩形ACDF，
∴阴影部分的面积为：AC·DC=
－1．
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