| 利用频率估计概率 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
前面的列举法只能在所有可能是等可能并且有限个的大前提下进行的，如果不满足上面两个条件，是否还可以应用以上的方法呢？不可以．也就是：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率． 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
典例讲解
例1、选择题
1．当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，求(估计)概率是用（ ）
A．通过统计频率估计概率
B．用列举法求概率
C．用列表法求概率
D．用树形图法求概率
2．在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作为替代物的是（ ）
A.一颗均匀的骰子
B.瓶盖
C.图钉
D.两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃）
3．不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中2个为白色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，研究恰好摸出红色小球的机会，以下替代实验方法不可行的是（ ）
A.用3张卡片，分别写上“白”、“红”， “红”然后反复抽取
B.用3张卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取
C.用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抽取
D.用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面积为红色的2倍，然后反复转动转盘
答案：1、A 2、D 3、C
例2、一位同学抛掷一枚图钉，统计如下表：请根据下表用频率估计概率．
抛图钉
的次数40
120
200
280
360
440
520
600
680
760
840
920
1000
钉尖触地的频数
20
50
88
125
163
196
228
269
305
348
383
421
463
钉尖触地的频率
0.500
0.417
0.440
0.446
0.453
0.445
0.438
0.448
0.449
0.457
0.456
0.458
0.463
解：由表格知：针尖触地的概率为0.46．
例3、某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植成活率．
(1)它能够用列举法求出吗？为什么？
(2)它应用什么方法求出？
(3)请完成下表，并求出移植成活率．
移植总数（n）
成活数（m）
成活的频率（ ）
10
8
0.80
50
47
____
270
235
0.871
400
369
____
750
662
____
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
_____
900
8073
_____
14000
12628
0.902
解：
(1)不能．
理由：移植总数无限，每一棵小苗成活的可能性不相等．
(2)它应该通过填完表格，用频率来估计概率．
(3)填表略．所求的移植成活率的概率是0.9．
例4、某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克的柑橘，如果公司希望这种柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(已经去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏表”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成下表．
柑橘总质量（/千克）
损坏柑橘质量（/千克）
柑橘损坏的频率
50
5.50
0.110
100
10.50
0.105
150
15.50
_____
200
19.42
_____
250
24.25
_____
300
30.93
_____
350
35.32
_____
400
39.24
_____
450
44.57
_____
500
51.54
_____
解：
从填完表格，我们可得，柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完好的概率为0.9．
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有：
10000×（1－10%）x=2×10000+5000
解得：x≈2.8
因此出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元．
例5、在车站、街旁、旅游点、学校门口常常看到以下的博彩游戏：
玩
法
（1）记分卡共20张，其中5分、10分各10张；
（2）记分卡反放，每次任意摸10张，总分在下列分数中的可以得到与该分数对应的奖品；
（3）每次摸奖付1元.
分数
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
奖品
彩电
文曲星
钢笔
圆珠笔
空门
空门
空门
气球
香皂
计算器
手表
奖品丰厚，围观者蠢蠢欲动，但也奇怪，有数十个人参加摸奖，摸到空门的居多，根本没有人摸到价值高的奖品，是偶数还是必然，你认为呢？以摸到100分为例说明．
分析：
摸奖者摸10张卡片，总分在50至100之间，除了70、75、80三个分数没有外，其余的分数都有奖，并且奖品大都远远超过1元，所以人们觉得赢的机会非常大，可是事实恰恰相反，得到贵一点的奖品几乎没有人，是什么原因呢？
原来在50至100之间的11个分数中，摸10张卡总分最有可能是70、75、80，而相应的奖品是空的，其余分数虽然都有奖品，甚至在两边的得分可得到高额奖品，但这些分数很难得到．
解：
是必然．理由：以摸到100分为例，需连续摸到10张卡片都是10分的，第一次摸到10分的机会是
，再摸第二次摸到10分卡片的机会是
，第三次摸到的卡片是10分的机会是
，……依次类推，连续摸十次都是10分的机会只有
，接近于二十万分之，以每次一元计算，需要近二十万元才能得到一台彩电!
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