| 公式法 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1、一元二次方程的求根公式：
①对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），它的求根公式是
.
②求根公式的推导过程实质上是利用了配方法．
③公式法：用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
2、一元二次方程根的判别式：
①一元二次方程根的判别式定义：把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）根的判别式．
②一元二次方程根的判别式性质：一元二次方程 ax2＋bx＋c=0（a≠0），当b2－4ac>0时，方程有两个不等实根；当b2－4ac=0时，方程有两个相等实根，这时的根为
；当b2－4ac<0时，方程无实根；反之亦然．
典例讲解
例1、选择题
1、下列方程有实数根的是（ ）
A．2x2＋x＋1=0 B．x2－x－1=0
C．x2－6x＋10=0 D．x2－
＋1=0
2、若关于x的方程
有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>1 B．k≥－1
C．k＜1 D．k＞1且k≠0
答案：1、B 2、A
例2、用公式法解下列方程．
（1）2x2－9x＋8=0
解：b2－4ac=17
（2）9x2＋6x＋1=0
解：b2－4ac=0，x1=x2=
．
（3）（x－2）（3x－5）=1
解：3x2－11x＋9=0
b2－4ac=13
故
例3、解方程：
.有一位同学解答如下：
这里
，
∴
，
∴
∴x1=
，x2=
．
请你分析以上解答有无错误，如有错误，找出错误的地方，并写出正确的解答.
解：有错误，错在常数，而c应为
，正确为：
原方程可化为：
∵
∴
∴
∴
例4、m为何值时，方程（2m＋1）x2＋4mx＋2m－3=0．
（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根？
解：
若 2m＋1≠0,即 m≠
,则
=（4m）2－4（2m＋1）（2m－3）=4（4m＋3）
（1）当4m＋3>0且2m＋1≠0，即m>
且m≠
时，原方程有两个不相等的实数根．
（2）当4m＋3=0即m=
时，原方程有两个相等实数根．
（3）当4m＋3<0即m<
时，没有实数根．
例5、若关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k=0有实数根，求k的取值范围．
解：
（1）当k=0时，原方程可化为－x=0，此方程有实根．
（2）由题意得：
，解得
且k≠0．
故：综合（1）（2）得k的取值范围为
．
例6、求证：不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．
证明：
∵a=2，b＝3（a－1），c=a2－4a－7．
b2－4ac=[3（a－1）]2－4×2（a2－4a－7）=a2＋14a＋65=（a＋7）2＋16≥16>0．
故不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．
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