课外拓展 |
例、已知关于x的方程 （1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2． 分析： （1）根据方程根的判别式判断根的情况，只要证明判别式△的值恒为正值即可； （2）|x2|=|x1|+2，即|x2|-|x1|=2，两边平方后再配方得（x1+x2）2-4|x1x2|=4，再根据根与系数的关系用m表示出两根的和与两根的积，代入得到关于m的方程，即可求得m的值． 解：（1）∵a=1，b=-（m-2），c= ∴△=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（ =2m2-4m+4=2（m-1）2+2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵a=1，b=-（m-2），c=- ∴x1+x2=m-2， ∵方程总有两个相异的实数根 ∴x1·x2=- ∴x1与x2异号， 而|x2|=|x1|+2， ∴|x2|-|x1|=2， 两边平方后再配方得（x1+x2）2=4 ∴（m-2）2=4， 解得m=0或m=4， 当m=0时，x2+2x=0 方程的根为0和-2，这两个根满足|x2|=|x1|+2， 则x1=0，x2=-2； 当m=4时，x2-2x-4=0， ∴x1= 点评： 总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0 （2）△=0 （3）△＜0 此题不仅考查了根的判别式的应用，还应用了根与系数的关系以及配方法的运用．
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，
）
，
＜0，
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方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．