| 二次函数 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1、二次函数的定义
一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次函数系数、一次项系数和常数项．
2、二次函数的自变量的取值范围
（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y=2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围为全体实数．
（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
如圆的面积S与圆的半径r的关系式S=πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0．
3、回顾学过的函数
一次函数y=kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y=kx(k≠0)，反比例函数
(k≠0)，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．
例题讲解
例1、下列函数中哪些是二次函数？
①y=3x2；②
；③y=－x(3＋x)；④y=ax2＋bx＋c(x为自变量)．
答案：①③是二次函数．
变式练习1
下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．
B．y=(x＋1)(x－1)
C．y=－x2－2x＋1 D．y=(x－1)2－x2
答：A为y=2x2－
，B为y=x2－1，D为y=x2－2x＋1－x2=－2x＋1，故D不是二次函数．
例2、当k为何值时，函数
为二次函数？
解：
由二次函数定义得
由①得k=±1；
由②得k≠1，∴k=－1，
∴当k=－1时，
为二次函数．
变式练习2
若
为二次函数，则m=____________．
答：m=2．∵
，∴m=2．
例3、把一根长为40cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为xcm，它的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围为____________．
解：
∵长方形的一边长为xcm，则另一边长为(20－x)cm，
∴面积y=x(20－x)=－x2＋20x．
依题意
，
∴0<x<20．
故两个空分别填y=－x2＋20x，0<x<20．
变式练习3
一个正方形的边长为3cm，它的边长减少xcm后，得到的正方形的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围是____________．
答：y=(3－x)2=x2－6x＋9，0≤x<3．
变式练习4
用长为8m的铝合金条做成如图所示的矩形窗框，设横档长为xm，窗户的透光面积为ym2，则（1）y与x的函数关系式为____________；
（2）自变量x的取值范围是____________；
（3）当x分别取1，
，2时，y的值分别为____________．
答：
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