| 实际问题与二次函数（三） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、在实际生产和生活中，经常会遇到求最大面积、最大存储量等最值问题，这类问题经常可利用二次函数的有关知识解决，即把最大面积最大存储量问题转化为二次函数的最大值问题．
2、求平面几何图形面积最大值问题主要利用平面几何图形的有关条件求出平面几何图形面积的二次函数解析式，并利用二次函数的图象和性质确定最大（或最小）面积．
精讲精练:
例1、如图所示，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可利用长为100米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）当AB的长为多少时，才能使围成的花圃的面积最大？最大面积是多少？
解：
（1）设AB=x米，则BC的长为（24－3x）米，
则
．∴0＜x＜8
S=AB·BC=x·（24－3x）=－3x2＋24x
（2）S=－3（x2－8x）=－3（x－4）2＋48
∵a=－3＜0，且0＜x＜8，∴当x=4时，
S有最大值48，此时BC=24－3×4=12＜100，
符合条件．故当AB的长为4米时，围成的花圃的大面积为48米2．
变式练习1、用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃，如图所示．围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E，设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为S m2．问当x取何值时，S最大？最大值为多少？
解：
连EC，作DF⊥EC于F．
∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∴∠AEC=∠BCE．
∵AE∥BC，∴∠AEC=∠BCE=90°，
则四边形ABCE为矩形．
∵CD=x，故
．
∴∠EDF=60°，
例2、如图所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q在点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，解答下列问题：
（1）运动开始第几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）求t为何值时S有最小值．
解：
（1）设运动开始第x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则
．
解得x1=4，x2=2．
故运动开始第2秒或第4秒时，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）S五边形APQCD=S矩形ABCD－S△PBQ=6×12－
（6－t）·2t=t2－6t＋72（0＜t＜6）
（3）S=t2－6t＋72=（t－3）2＋63
∵a=1＞0，且0＜t＜6，∴当t=3时，S有最小值63．
故当t=3s时，S有最小值63cm2．
变式练习2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠D=90°，∠B=45°，AB=5，AD=3，E为BC上一动点，由B至C沿BC运动，EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为M，N．（1）设BM=x，矩形AMEN面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
答案：
（1）在Rt△BME中，∠B=45°，∠MEB=45°，
∴EM=BM=x，
∴S矩形AMEN=AM·EM=（5－x）·x=－x2＋5x（0＜x≤3）
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