| 图形的相似 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、形状相同的图形叫相似图形．
2、相似多边形
（1）判定：如果两个多边形对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
（2）特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（3）相似比：相似多边形的对应边的比称为相似比．
3、比例线段
对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
，则这四条线段是成比例的线段，简称比例线段．
精讲精练：
例1、如图的两个多边形A′B′C′D′E′与CDEAB相似，求出AB与∠C′的值．
解：
由图形可知五边形A′B′C′D′E′与五边形CDEAB相似，
故∠C′=∠E=90°，
．
因为A′E′=10，CB=6，E′D′=6，
，∴BA=3.6，
即AB=3.6，∠C′=90°．
变式练习1
如图所示，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，试求∠A的度数和A′D′的长．
答案：
因为四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
所以∠A=∠A′=100°，
，
因为A′B′=2，AB=3，AD=2.5，
例2、下列图形中一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个矩形
C．两个菱形 D．两个等腰梯形
解：
题中既满足对应边的比相等，又要满足对应角相等的两个图形只有两个正方形，故选A．
变式练习2
下列图形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个锐角三角形
答案：C
例3、如图，B、C分别为△APQ的边AP、AQ上的点，且△ABC∽△APQ，已知AB=40cm，BP=60cm，BC=30cm．求PQ的长．
解：
∵△ABC∽△APQ，
，
∵AB=40cm，BP=60cm， ∴AP=100cm，
，∴PQ=75cm．
变式练习3
一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最短边的长为6，则这个多边形的最长边的长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
答案：
设最长边长为x，则
，
∴x=18，故选B．
例4、下列各组中的四条线段，不成比例的是（ ）
A．3cm，4cm，12cm，9cm
B．7cm，6cm，18cm，21cm
C．
D．
解：
在四条线段中，若其中两条线段的比等于另外两条线段的比，称为比例线段．为便于判断，可把四条线段从小到大排列，再看两条较短线段的比与两条较长线段的比是否相等．D选项中，
，3∶5≠3∶10，故选D．
注意：
有的同学直接按第一个数比第二个数，第三个数比第四个数，发现它们不相等而说它们不是比例线段，这种判断方法是不对的．
变式练习4
已知A、B两地的实际距离AB=5km，画在地图上的距离为A′B′=2cm，则这张地图的比例尺为（ ）
A．2∶5 B．1∶2500
C．250000∶1 D．1∶250000
答案：
2∶（5×1000×100）=1∶250000，故选D．
变式练习5
在比例尺为1∶40000的工程示意图上，甲、乙两地的距离约为54.3cm，它的实际距离为（ ）km．
答案：
设实际距离为xcm，则
，
∴x=2172000cm=21.72km．
例5、如图所示的两个图形相似吗？请说明理由．
解：
它们相似．理由如下：
由①②得四边形ABCD与四边形FGHE相似．
注：先考虑角，便于找对应边．
变式练习5
一个长方形的长为12，宽为8．（1）若在它的四周往内钉一个宽为1的木框，所得的长方形与原长方形相似吗？（2）若将原长方形的宽增加1，那么长要增加多少，所得的长方形与原长方形相似？
解析：
（1）如图．
，∴所得的长方形与原长方形不会相似．
（2）设长增加x后，两长方形相似，
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