| 相似三角形的判定（三） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
精讲精练:
例1、如图，BE与DC相交于A，BC⊥CD于C，DE⊥BA于E，且AE=3，AC=4，BC=5．求AD的长．
解：
在Rt△ACB中，
，
∵∠C=90°=∠E，∠CAB=∠EAD，
∴△CAB∽△EAD，∴
∴AD=
．
变式练习1
如图，D为线段BC上一点，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
解：
在△AOE与△DOC中，
∵∠2=∠3，∠AOE=∠DOC，
∴∠E=∠C．
∵∠1=∠3，∴∠1＋∠DAC=∠3＋∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE．
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D．求证：AC2=AD·AB．
证明：
∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，
∴∠A＋∠B=90°，∠A＋∠1=90°，
∴∠1=∠B，又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
，∴AC2=AD·AB．
变式练习2
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
（1）图中有几对相似三角形？
（2）证明：CD2=AD·BD．
解：
（1）∵∠1＋∠A=90°，∠B＋∠A=90°，
∴∠1=∠B．
又∵∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∴有3对相似三角形，即△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD．
（2）∵△ACD∽△CBD，∴
例3、如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
解：
△ABE∽△ADC．理由如下：
∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，
∵AD⊥DC，∴∠ABE=∠ADC，
又∵∠E=∠C，∴△ABE∽△ADC．
变式练习3
如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E，连BD．
（1）请找出图中的相似三角形；
（2）证明：DB2=DE·DA．
解：
（1）∵∠1=∠2=∠3，∠D=∠C，
∴有3对相似三角形，即△AEC∽△BED，△ABD∽△AEC，△DBE∽△DBA．
（2）∵△DBE∽△DAB，∴
，∴DB2=DE·DA．
变式练习4
如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，点D为⊙O上一点，且AD//OC．证明：2OB2=AD·OC．
解：
∵AB为直径，∴∠BDA=90°，
∵BC为切线，AB为直径，
∴∠CBA=90°，∴∠CBO=∠BDA．
∵OC//AD，∴∠BOC=∠A，∴△CBO∽△BDA，
∴
，∴BO·AB=AD·OC，
∵AB＝2OB，∴2OB2=AD·OC．
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