1．（兰州）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）
A．24m B.25m C.28m D.30m
答案：D
解析：
由题意得△APM∽△ABD，△BQN∽△BAC，
．
又∵QB=AB－AP－PQ=AB－AP－20.
所以两路灯之间的距离AB=30m，故选D．
2．（湖北荆州）如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB，若OC:OA=1:2，量得CD=10mm，则零件厚度x=_________mm.
答案：2.5
解析：
∵AC=BD,OC=OD,∴OA=OB,
又∵∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,
∴
，
∴AB=2CD=20,
∴零件厚度为
（mm）．
3.（广东）如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN;
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．
解析：
(1)在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°．
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB=90°．
∴∠CMN=∠MAB．
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
(2) ∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴
，
，
当x=2时，y取最大值，最大值为10．
（3）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN,必须有
，
由（1）知
，∴BM=MC．
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2.
