| 相似三角形的周长和面积 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、相似三角形的性质
（1）相似三角形对应中线之比、对应高之比、对应角平分线之比都等于相似比；
（2）相似三角形周长之比等于相似比；
（3）相似三角形面积之比等于相似比的平方；
2、相似多边形的性质：
（1）相似多边形周长之比等于相似比；
（2）相似多边形面积之比等于相似比的平方．
精讲精练：
例1、两个相似三角形一组对应边的长分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之和为50cm2，那么这两个相似三角形的周长分别是多少？面积分别是多少？
解：
设其中较小的三角形周长为xcm，它的面积为ycm2，
因为相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，
则有
，
解得x=24，y=18，
∴56－24=32，50－18=32．
故两相似三角形的周长分别为24cm、32cm，面积分别为18cm2、32cm2．
变式练习1
如图是一个梯形货架，EF//AD//BC，已知
，且AD=2米，EF=3米，四边形AEFD的周长是8米，木料市场价格为30元/米，则要做好这个货架买木料需要多少钱？（视频中“价”应为“架”）
答案：
∵EF//BC//AD，∴∠AEF=∠B，∠EFD=∠C，∠A=∠BEF，∠D=∠EFC．
又∵
，∴四边形AEFD∽四边形EBCF．
设四边形EBCF的周长为x，则
，∴x=12，
∴木料总长为8＋12－3=17（米），共需17×30=510（元）．
例2、如图，△ABC是一块锐角三角形木料，边BC=120cm，高AD=80cm，要将其加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：
设加工成的正方形零件为正方形PQMN，
其中P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，△ABC的边BC上的高AD交PN于E．
∵AD⊥BC，PN//BC，∴AD⊥PN，
∵PN//BC，∴△APN∽△ABC，∴
．
设正方形PQMN的边长为xcm，则ED=xcm，PN=xcm，AE=(80－x)cm，
∴
，解得x=48，
故加工成的零件的边长为48cm．
变式练习2
如图，已知梯形EBCD的两底边长分别为ED=3，BC=8，梯形的高为3，求它的两腰的延长线的交点A到BC的距离．
答案：
过A作AH⊥BC于H，交ED于G，则GH=3．
∵ED//BC，AH⊥BC，∴AG⊥ED，
∵ED//BC，∴△AED∽△ABC，
例3、如图，△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E为AB的中点，连EF．
（1）求证：EF//BC；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
解：
（1）证明：∵AC=DC，CF平分∠ACD，∴F为AD的中点，
又∵E为AB的中点，∴EF//BD，即EF//BC．
（2）∵EF//BD，且EF=
BD，
∴△AEF∽△ABD，
解得S△AEF=2，∴S△ABD=2＋6=8．
变式练习3
如图，在梯形ABCD中，CD//AB，AB=5，CD=2，对角线AC、BD交于点O．求△COD、△AOD、△AOB、△BOC的面积比．
答案：
设S△DOC=a．
∵CD//AB，∴△DOC∽△BOA，
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