| 位似（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标值的比等于k或－k．
知识精讲：
例1、在平面直角坐标系中，五边形ABCDE的五个顶点的坐标分别为A（－2，3），B（－4，2），C（－3，0），D（－1，1），E（－1，2），以坐标原点为位似中心，将五边形ABCDE放大，使放大后的多边形的边是原五边形的对应边的2倍，求放大后的五边形的五个顶点的坐标．
解：
∵两五边形的位似比为1∶2，
∴所以放大后的多边形的各顶点的横、纵坐标分别通过把原五边形ABCDE的对应顶点的横、纵坐标乘以2或－2得到，则所得放大后的五边形的各顶点为A′（－4，6），B′（－8，4），C′（－6，0），D′（－2，2），E′（－2，4），或A″（4，－6），B″（8，－4），C″（6，0），D″（2，－2），E″（2，－4）．
变式练习1：
若四边形ABCD各顶点的坐标为A（1，1），B（4，2），C（3，4），D（2，3），四边形A′B′C′D′是以O为位似中心，把四边形ABCD缩小为原来的
得到的，则四边形A′B′C′D′的坐标分别是多少？
答案：
位似变换后各顶点的坐标为：
B′（2，1），
．
例2、在平面直角坐标系中，如图所示，依次连结O（0，0），A（2，1），B（5，1），C（3，0），组成一个图形，若把它放大，使放大前后对应线段的比为1︰4，并说出位似中心和放大后图形各顶点坐标．
答案：
放大后的图形的顶点坐标为O（0，0），A′（8，4），B′（20，4），C′（12，0），连结OA′，A′B′，B′C′得放大后的四边形OA′B′C′，位似中心为O．
变式练习2：
如图所示，表示的是△AOB和它放大后得到的△COD．
（1）它们的相似比是多少？
（2）三角形的三个顶点的坐标发生了怎样的变化？
答案：
（1）∵OB=2，OD=4，∴△OAB与△COD的相似比为
；
（2）△OAB三个顶点的坐标为A（1，2），O（0，0），B（2，0），放大后得到的△COD顶点坐标分别为C（2，4），O（0，0），D（4，0），即△AOB的顶点坐标扩大了两倍．
例3、在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF是以原点为位似中心的位似三角形，且对应点A、D的坐标分别为A（6，3），D（2，m），求m的值．
答案：
以原点为位似中心，且A（6，3），D（2，m），
可知
∴m=1．
变式练习3：
如图所示，在平面直角坐标系中，正方形A2B2C2D2，A3B3C3D3都是由正方形A1B1C1D1经过位似变换得到的，点O是位似中心．
（1）你能找出正方形A1B1C1D1以O为位似中心，相似比是2的位似图形吗？
（2）正方形A4B4C4D4是正方形A3B3C3D3的位似图形吗？如果是，求相似比；
（3）由正方形A3B3C3D3得到它的位似图形正方形A1B1C1D1，求相似比；
（4）我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形四边上的整点个数，并猜测：正方形A1B1C1D1以O为位似中心，相似比为10的位似图形A10B10C10D10的四条边上整点个数之和是多少？
答案：
（1）正方形A1B1C1D1以O为位似中心，相似比为2的位似图形是正方形A2B2C2D2；
（2）是，相似比为
；
（3）相似比为
；
（4）40个．
方法1：观察正方形A1B1C1D1的四条边上整点个数为4，正方形A2B2C2D2的四条边上整点个数为4＋4=2×4=8个；正方形A3B3C3D3的四条边上整点个数为4＋2×4=12个，如此类推，正方形A10B10C10D10的四条边上整数个数之和为4＋9×4=40（个）．
方法2：直线A10D10的解析式为y=－x＋10．经检验点（0，10），（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，0）都满足y=－x＋10，故总个数为4＋4×9=40（个）．
变式练习4：
如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（7，1），B（8，2），C（9，0）．
（1）请在图中画出△ABC的一个以点P（12，0）为位似中心，相似比为3的位似图形（要求与△ABC同在P点的一侧）；
（2）求线段BC的对应线段B′C′所在直线的解析式．
答案：
（1）作BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′．（视频中“PD⊥x轴”为“BD⊥x轴”）
∴B′D′∥BD．
．
∵B（8，2），∴OD=8，BD=2，
∴PD=12－8=4．
∵△A′B′C′与△ABC的相似比为3，
∴B′D′=6，PD′=12．∵PO=12，∴D′点与O点重合，线段B′D′在y轴上．
∴B′点的坐标为（0，6），同理PC′∶PC=3∶1．
又∵PC=OP－OC=12－9=3，∴PC′=9，∴OC′=12－9=3．
∴C′点坐标为（3，0）．同理求A′（－3，－3）．
画出△A′B′C′，如图所示；
（2）设线段B′C′所在直线的解析式为y=kx＋b，
∴线段B′C′所在直线的解析式为y=－2x＋6．
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