| 锐角三角函数（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A取一定度数时，它的对边和斜边的比值是一个固定值．
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的对边与斜边的比叫∠A的正弦，记为sinA，
如图所示．
精讲精练:
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3．求sinA和sinB．
解：
变式练习1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知
，求sinB的值．
答案：
例2、如图，点P（2，4）是∠α的终边OA上的一点，求sinα的值．
解：
变式练习2：如图，点P（3，4）是∠α终边上的一点，则sinα的值为（ ）
答案：如图所示，PA=4，OA=3，所以
所以
因此选B.
例3、如图，一电梯的长度为26m，倾斜角为α，求电梯的高度．（结果用含α的三角函数表示）
解：
过B作BC垂直于过点A的水平线于C，
则
，
故电梯的高度为26sinαm．
变式练习3：如图，⊙O的半径为3，
，求弦AB的长．
答案：
过点O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AB=2AC．
在Rt△AOC中，
，
,∴AB=4．
例4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，AC=18，AD=12，求BD的长．
解：
方法一：利用“相似三角形的对应边的比相等”求BD．
∵∠1＋∠A=90°，∠B＋∠A=90°，∴∠B=∠1．又∵∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC．
方法二：∵∠1＋∠A=90°，∠B＋∠A=90°，∴∠1=∠B．
变式练习4：在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，求sinB的值．
答案：
过A作AD⊥BC于D．
∵AB=AC，∴D为BC的中点．
∴BD=8．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
例5、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据
可知，锐角A的正弦值sinA的取值范围是（ ）
A．sinA＜1 B．sinA＞1
C．sinA≤1 D．0＜sinA＜1
解：
在Rt△ABC中，直角边＜斜边，
．
又∵sinA＞0，∴0＜sinA＜1，故选D．
变式练习5：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．求证：sinA＋sinB＞1．
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