| 二次函数y=ax2的图象 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳:
1、前面通过描点的方法作出一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，我们仍然通过描点的方法作出二次函数y=ax2的图象，其图象为抛物线．
2、一般地，抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是(0，0)．当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，当x=0时，y有最小值，最小值为0；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，当x=0时，y有最大值，最大值为0；|a|越大，开口越小．
3、抛物线y=ax2与y=－ax2的开口方向相反，关于x轴对称．
精讲精练：
例1、二次函数y=3x2与
的图象的相同点是：(1)___________；(2)____________；(3)____________．
解：∵a都大于0，∴三个空分别可填上：开口向上；对称轴是y轴；都有最低点．
变式练习1
抛物线y=4x2，y=－4x2，
共有的特点是（ ）
A．开口向上 B．对称轴都为y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
答案：选B
例2、求当m为何值时，抛物线
的开口向下，并指出当x>0时，y随x的变化情况．
解：
由题意知，
由①得m=2，或m=－1．
结合②，取m=－1，
∴当x>0时，y随x的增大而减小．
变式练习2
已知二次函数
．若其图象开口向上，则k=__________；若当x<0时，y随x的增大而增大，则k=___________．
答案：
若图象开口向上，则
∴k=3；
若当x<0时，y随x的增大而增大，则
∴k=0．
变式练习3
二次函数
，(x1，y1)，(x2，y2)是其图象上的两个点，且x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是___________．
答案：
∵a=
<0，∴抛物线开口向下．又对称轴是y轴，当x>0时，y随x的增大而减小， ∵x1>x2>0，∴y1<y2．
例3、二次函数的图象如图所示，则它的解析式为___________．若另一函数的图象与该函数的图象关于x轴对称，则它的解析式为_________．
解：
顶点为原点，对称轴为y轴的抛物线的解析式为y=ax2．把x=2，y=1代入，得1=a·22，∴a=
，∴
，则关于x轴对称的另一抛物线的解析式为
．
变式练习4
若二次函数y=x2－(m2－2m)x＋m的图象关于y轴对称，且以原点为顶点，求该二次函数的解析式．
解：
依题意
∴m=0，
故解析式为y=x2．
例4、已知函数y=ax2(a≠0)与函数y=kx－2的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为(－1，－1)．
（1）求a，k的值和两个函数的解析式；
（2）求B点的坐标．
解：
（1）∵点A在抛物线上，∴－1=a·(－1)2，
∴a=－1，∴y=－x2．
∵点A在直线上，∴－1=k·(－1)－2，
∴k=－1，∴y=－x－2．
（2）设B的坐标为(m，n)，则
∴B点的坐标为（2，－4）．
变式练习5
如图，点P(x，y)是抛物线y=x2上的一动点，点A的坐标为（3，0），若△OPA的面积为S．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）画出函数图象；
（3）S是否有最小值？若有，求出S的最小值；否则，说明理由．
解：
（1）过P作PB⊥x轴于B，则PB=y=x2，
∴S=
OA·PB=
×3·x2=
．
∵x=0时，PB＝0，∴S=
(x≠0)．
（2）S=
(x≠0)是开口向上，对称轴为y轴的抛物线，但不含原点．图略．
（3）∵x≠0，∴S不存在最小值．
高一全科点睛班课程 高一全科强化班课程 高二全科全年强化班 高三全科强化班课程 初一全科强化班课程 初一全科点睛班课程 初二全科强化班视频 初二全科点睛班课程 初三全科强化班 全科巨无霸同步提高课程 小学全年全科强化班
- 返回 -
