| 投影与视图 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（如地面、墙壁等）上得到的影子叫物体的投影．照射光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面．
2、平行投影：由平行光线形成的投影叫平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
3、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫中心投影，如蜡烛、灯泡发出的光照射下形成的影子叫中心投影．
4、正投影：在平行投影中，如果投影线垂直于投影面而产生的投影叫正投影．
精讲精练：
例1、指出下列小华的影子哪些是平行投影，哪些是中心投影，并说明理由．
（1）一个晴天的上午，小华身后的影子；
（2）一个晴天的中午，小华脚下的影子；
（3）夜晚，小华在路灯下的影子；
（4）小华在幻灯机前经过时投在屏幕上的影子．
解：
（1）、（2）中小华的影子是在太阳光的照射下形成的，而太阳光是平行光线，故（1）、（2）中的影子是平行投影；（3）、（4）中小明的影子是在路灯或幻灯机的灯光照射下形成的，而电灯是点光源，故它们是中心投影．
变式练习1：
下列投影中，不属于中心投影的是（ ）
A．晚上路灯下小孩的影子
B．舞台上灯光下演员的影子
C．阳光下树的影子
D．电影屏幕上演员的影子
解：
太阳光是平行光，不是点光源发出的光线，故选C．
例2、直角坐标平面内，一点光源位于A（0，5）处，线段CD⊥x轴于D，C（3，1），则CD在x轴上的影长为__________，点C的影子的坐标为__________．
解：
如图所示，设光线AC与x轴交于E，
∵CD∥OA，∴△ECD∽△EAO，
故CD在x轴上的影长为0.75，点C的影子的坐标为（3.75，0）．
变式练习2：
如图（1），一木棒AB在太阳光下的影子为BC，试在图（2）中画出同一时刻木棒MN的影子．
解：
如图（3），过M、N分别画AC、BC的平行线，它们的交点为P，则NP就是木棒MN在同一时刻的太阳光下的投影．
例3、小明拿一个长方形木框在阳光下玩，长方形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
解：
当长方形木框与光线平行时，其投影是一条线段，故B可能；当长方形木框与地面平行时，其投影是一个长方形，故C也可能；当把这个长方形沿其对角线转动一定的角度使该矩形与地面倾斜时，其投影是一个平行四边形，故D可能，因此选A，即不可能为梯形．
变式练习3：
如图，将一块等腰直角三角形纸板（即Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=20（cm），平行于投影面P（图a），直角边AC不动，BC绕直线AC在平面BCC′B′上竖直向上旋转30°（图b），继续旋转到BC垂直于投影面P（图c），观察图形：（1）三种情况下的正投影分别是什么图形？（2）三种情况下的哪个正投影的面积最大？最大面积是多少？哪个面积最小？
解：
（1）图（a）中的正投影为等腰直角三角形，与原图形全等，图（b）中的正投影为直角三角形，但B′C′≠A′C′，图（c）中的正投影近似为线段C′A′．
（2）图（a）中的正投影面积最大，为
，图（c）中的正投影面积最小，若不考虑纸板厚度其面积可看成0．
例4、如图，不透明的圆锥体DEC放在直线BP所在水平面上，且BP过底面圆的圆心，圆锥高为
，底面半径为2m，某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m．
（1）求∠B的度数；（2）若∠ACP=2∠B，求光源A距平面的高度．
解：
（1）如图，设圆心为O，连DO，则DO⊥BP，在△BOD中，BO=BE＋EO=4＋2=6（m），
变式练习4：
如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球．
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当球沿铅直方向下落时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心的距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球落在地面上留下的阴影的面积．
解：
（1）如图，球在地面上的阴影是一个圆．
（2）当球沿铅直方向下落时，阴影会逐步变小；
（3）设球心为O，白炽灯为A，圆心为B，连AO，BO，则A，O，B共线．设光线AC与球切于C，C点的投影为D，则A，C，D共线．∵AD与球相切，∴OC⊥AD，又∵AB⊥BD，且∠CAO=∠BAD，∴△AOC∽△ADB．
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