例、当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想．
（1）设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m、x的关系式；
（2）当a＝2.5，b＝2，m＝1.6，求：
（ⅰ）点E和墙壁距离x；
（ⅱ）最大视角∠PEQ的度数．（精确到1度）
分析：
（1）过O作OD⊥PR于点D，在Rt△POD中应用勾股定理，或用切割线定理得出HE2＝HQ·HP，即可得出这四个未知数的关系式．
（2）①根据（1）中得出的关系式，将a、b、m的值代入其中即可得出x的值．
②由圆心角与圆周角的关系结合三角函数得∠PEQ的正切值，得最大视角∠PEQ的度数．
解：
（1）(1)过O作OD⊥PR于点D，则D为PQ中点，则
．
又水平直线HE切⊙O于点E，
又OE⊥HE，
∴
．
在Rt△POD中，OP2＝PD2＋OD2，得
．
∴x2＝(a－m)(b－m)
另解：HE2＝QH·PH
x2＝(a－m)(b－m)
（2）①(当a＝25，b＝2，m＝1.6时，
由(1)中所得x2＝(a－m)(b－m)可得：
x2＝0.36，即x＝0.6(米)
∴点E到墙壁距离x的值为0.6米．
②∵∠POQ＝2∠PEQ，∠POQ＝2∠POD,
∴∠PEQ＝∠POD,
tan∠PEQ＝tan∠POD
∴∠PEQ≈23°．
点评：
本题主要考查了切割线定理，解直角三角形及三角函数等知识点，得出a、b、m、x的关系式是解题的关键．
