| 二次函数y=ax2＋k的图象与性质 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、抛物线y=ax2＋k(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是(0，k)．当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，且当x=0时，y有最小值，最小值为k；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，且当x=0时，y有最大值，最大值为k．
2、抛物线y=ax2＋k(a≠0)与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2向上或向下平移，可得到抛物线y=ax2＋k．当k>0时，把抛物线y=ax2向上平移k个单位得到抛物线y=ax2＋k；当k<0时，把抛物线y=ax2向下平移|k|个单位得到y=ax2＋k．
精讲精练：
例1、抛物线y=－3x2的顶点坐标是___________，抛物线y=－3x2＋2的顶点坐标是___________，抛物线y=－3x2＋2可由抛物线y=－3x2向___________平移___________个单位得到．
解：
抛物线y=－3x2的顶点坐标为(0，0)，y=－3x2＋2的顶点坐标为(0，2)，抛物线y=－3x2＋2可由抛物线y=－3x2向上平移2个单位得到．
变式练习1
把二次函数
的图象向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为___________，把二次函数y=2x2－3的图象向上平移4个单位，所得的二次函数解析式为___________．
答案：
，y=2x2－3＋4=2x2＋1
例2、若二次函数y=x2＋(m＋1)x＋(m＋3)的图象的顶点在y轴上，则m的值是多少？
解：
依题意，该二次函数的图象以y轴为对称轴，而以y轴为对称轴的抛物线的一般形式为y=ax2＋k(a≠0)，∴m＋1=0，∴m=－1．
变式练习2
已知二次函数y=ax2－3的图象与x轴没有公共点，则a的取值范围是___________，这个函数有最___________值，是___________．
答案：
∵其顶点为(0，－3)，与x轴没有公共点，∴开口必向下，∴a<0，故有最大值，为－3．
例3、已知二次函数y=ax2＋c，当x<0时，y随x的增大而减小，且图象的顶点在x轴上方，则（ ）
A．a>0，c>0 B．a>0，c<0
C．a<0，c<0 D．a<0，c>0
解：
∵当x<0时，y随x的增大而减小，∴开口方向向上，∴a>0，
∵顶点在x轴上方，∴c>0．故选A．
变式练习3
已知二次函数
的图象在x轴上方，则m的值为（ ）
A．3 B．－1
C．1 D．3或－1
答案：
依题意
由①得m1=3，m2=－1，
由②得m>2，
∴m=3．故选A．
例4、已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y=x2－1上，下列说法正确的是（ ）
A．若y1=y2，则x1=x2
B．若x1=－x2，则y1=－y2
C．若0<x1<x2，则y1>y2
D．若x1<x2<0，则y1>y2
解：
抛物线y=x2－1是轴对称图形，若y1=y2，则x1=±x2，反过来，当x1=±x2时，y1=y2，故A、B都不对．因为抛物线开口向上，所以当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大，故选D．
变式练习4
已知点A(1，y1)，B(－1.5，y2)，C(－2，y3)在函数
的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1<y2<y3 B．y1>y2>y3
C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2
答案：
先作出函数
的大致图象．
∵0>－1.5>－2，∴y3>y2．
由抛物线的轴对称性可知，x=±1时，其函数值都为y1，
而0>－1>－1.5，∴y1<y2，∴y3>y2>y1．
故选A．
例5、若二次函数y=ax2－2，当x>0时，y随x的增大而增大．
（1）判断抛物线的开口方向及与x轴的交点个数；
（2）若图象过点(－2，6)，求a的值及抛物线与x轴交点的坐标．
解：
（1）∵当x>0时，y随x的增大而增大，∴a>0，∴抛物线开口向上，又∵顶点为(0，－2)在y轴的负半轴上，∴抛物线与x轴有两个交点．
（2）∵图象过点(－2，6)，∴6=a·(－2)2－2，∴a=2，
∴y=2x2－2，令y=0，∴0=2x2－2，∴x=±1．
故与x轴交点坐标为(1，0)，(－1，0)．
变式练习5
抛物线y=x2－4与x轴交于B、C两点，顶点为A，求△ABC的面积．
答案：
令y=0，则0=x2－4，∴x=±2，
∴B、C两点的坐标分别为(2，0)，(－2，0)，A的坐标为(0，－4)，
∴S△ABC=
·BC·OA=
×4×4=8．
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