| 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．
2、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的性质如下：
当a>0时，若x<h，则y随x的增大而减小；若x>h，则y随x的增大而增大；当x=h时，y有最小值k；
当a<0时，若x<h，则y随x的增大而增大；若x>h，则y随x的增大而减小；当x=h时，y有最大值k．
3、抛物线y=a(x－h)2＋k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的关系．
抛物线y=ax2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位，得抛物线y=a(x－h)2，再把抛物线y=a(x－h)2向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得抛物线y=a(x－h)2＋k．
精讲精练：
例1、已知二次函数y=－(x＋1)2－3．
（1）写出该函数的图象的顶点坐标和对称轴；
（2）说明这个二次函数的最大值（或最小值）是多少？
解：
（1）y=－(x＋1)2－3=－[x－(－1)]2－3，
∴顶点坐标为(－1，－3)，对称轴为直线x=－1；
（2）∵a=－1<0，∴这个二次函数有最大值，当x=－1时，其最大值为－3．
变式练习1
抛物线y=(x＋1)2＋2的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴是__________．
答案：上，(－1，2)，直线x=－1
例2、把二次函数
的图象向__________平移__________个单位，再向__________平移__________个单位，可得二次函数y=－
(x＋2)2－3的图象．
解：
方法1：y=－
(x＋2)2－3可变形为y=－
[x－(－2)]2－3．对照y=a(x－h)2＋k中的h，k，可知h=－2，k=－3．因此把二次函数
的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到y=－
(x＋2)2－3的图象．
方法2：利用图象的位置进行平移．
抛物线y=－
(x＋2)2－3的顶点为(－2，－3)，
的顶点为(0，0)，因此可把抛物线
向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到y=－
(x＋2)2－3的图象．
变式练习2
（1）把抛物线y=2(x＋1)2－3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为__________；
（2）把抛物线y=2(x＋1)2－3先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为__________．
答案：
（1）y=2(x＋1＋1)2－3＋2=2(x＋2)2－1；
（2）y=2(x＋1－1)2－3－2=2x2－5.
说明：向左平移1个单位，即－(－1)=＋1．
例3、在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）把这个函数的图象进行怎样的左右平移，使其图象过原点？
解：
（1）这里h=1，k=－4．设该二次函数解析式为y=a(x－1)2－4，因其图象过点B（3，0），故0=a(3－1)2－4，∴a=1，∴y=(x－1)2－4．
（2）若把其图象向右平移m(m>0)个单位后经过原点，则所得解析式为y=a(x－1－m)2－4，把(0，0)代入得0=a(0－1－m)2－4，∴(m＋1)2=4，∵m>0，∴m＋1=2，∴m=1，∴把y=(x－1)2－4向右平移1个单位后，所得图象过原点；
若把其图象向左平移m(m>0)个单位后经过原点，则所得抛物线的解析式为y=a(x－1＋m)2－4，把(0，0)代入得0=a(0－1＋m)2－4，∴(m－1)2=4．∵m>0，∴m=3，∴把y=(x－1)2－4向左平移3个单位后，所得图象过原点．
变式练习3
已知二次函数图象的顶点为（－1，2），且过点（0，
）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求证：对任意实数m，点(m，－m2)都不在这个二次函数的图象上．
答案：
（1）设y=a[x－(－1)]2＋2，把(0，
)代入得
=a(0＋1)2＋2，
∴a=
，∴y=
(x＋1)2＋2；
（2）证明：假设点(m，－m2)在其图象上，则－m2=
(m＋1)2＋2，∴m2－2m＋3=0．
此方程无实根，故点(m，－m2)不在其图象上．
变式练习4
如图所示．在一个圆形喷水池中心竖直安装了一根水管，在水管的顶端安一个喷水笼头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高几米？
答案：
以水管所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则顶点为（1，3），且抛物线过点（3，0）．
设抛物线为y=a(x－1)2＋3，把（3，0）代入得0=a(3－1)2＋3，
∴
，∴y=
(x－1)2＋3．
令x=0，得y=
(0－1)2＋3=2.25，
∴水管高2.25米．
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