| 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同．
2、y=ax2＋bx＋c配方为
，故抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为
，对称轴为直线
．
3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下：
①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，
时，y随x的增大而减小；
时，y随x的增大而增大；
时，y有最小值
，则抛物线的顶点是其最低点．
②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，
时，y随x的增大而增大；
时，y随x的增大而减小；
时，y有最大值
，则抛物线的顶点是其最高点．
精讲精练：
例1、用配方法求出下列二次函数的顶点式，并写出其顶点坐标．
（1）y=2x2－4x＋1；（2）y=
＋x－4．
解：
（1）y=2(x2－2x)＋1=2(x2－2x＋12－12)＋1
=2(x－1) 2－1．
故其顶点坐标为（1，－1）．
（2）y=－
(x2－2x)－4=－
(x2－2x＋12－12)－4
=－
(x－1)2＋
－4=－
(x－1)2－
．
故其顶点坐标为(1，
)．
变式练习1
写出y=
x2－6x＋21的图象的顶点坐标．
答案：
方法1：配方法
y=
(x2－12x)＋21=
(x2－12x＋62－62)＋21
=
(x－6)2＋3，顶点为（6，3）．
方法2：公式法
顶点横坐标为
，
纵坐标为
，顶点为（6，3）．
例2、抛物线y=x2＋bx＋c的顶点为（2，3），则b与c的值分别为___________．
解：
依题意
，
解得b=－4，c=7．
变式练习2
二次函数y=x2＋bx＋c的图象经过A（－1，0），B（3，0）两点，则其顶点坐标为___________．
答案：
方法1 把（－1，0），（3，0）代入y=x2＋bx＋c得
∴y=x2－2x－3．
配方为y=(x－1)2－4，∴顶点为（1，－4）．
方法2 ∵图象经过（－1，0），（3，0），由抛物线的轴对称性可知，顶点的横坐标为1，
，∴b=－2，∴y=x2－2x＋c．
把（－1，0）代入得0=(－1)2－2×(－1)＋c，
∴c=－3，
∴顶点纵坐标为
．∴顶点为（1，－4）．
例3、若抛物线y=x2＋bx＋c的顶点在y轴左侧，则（ ）
A．b>0 B．b<0
C．c>0 D．c<0
解：依题意
，∴b>0．故选A．
变式练习3
抛物线y=x2－6x＋c的顶点在x轴上，则c的值为（ ）
A．0 B．9
C．－9 D．6
答案：
，∴c=9．故选B．
例4、一次函数y=x－3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，二次函数y=x2＋bx＋c的图象过点A、B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求二次函数的解析式及其最小值．
解：
（1）对于y=x－3，令x=0，y=－3；令y=0，x=3，
∴A(3，0)，B(0，－3)．
（2）分别把（3，0），（0，－3）代入y=x2＋bx＋c得
∴b=－2，c=－3，
∴y=x2－2x－3．
y=x2－2x－3=(x2－2x＋12－12)－3=(x－1)2－4，
∵a=1>0，∴该函数的最小值为－4．
变式练习4
若二次函数y=ax2＋4x＋a－1的最小值为2，求a的值．
答案：
∵该函数有最小值，∴a>0，又∵最小值为2，
，解得a1=4，a2=－1．
∵a>0，∴a2=－1舍去，∴a=4．
变式练习5
请写出一个开口向上，对称轴为直线x=3，且与y轴交点坐标为（0，3）的抛物线．
答案：
设y=(x－3)2＋k，把(0，3)代入得3=(0－3)2＋k，∴k=－6，∴y=(x－3)2－6．
答案不唯一．
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