| 用待定系数法求二次函数解析式 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
两种求二次函数的解析式的方法：
1、当知道二次函数的图象上的三个点的坐标，或知道二次函数的三组x，y的对应值，则用二次函数的一般形式y=ax2＋bx＋c来求较合适．
2、当知道二次函数的图象的顶点坐标，用二次函数的顶点式y=a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))来求较合适，当然还包括对称轴、最大值（或最小值）的情形．
精讲精练：
例1、根据下列条件，分别求二次函数的解析式．
（1）已知抛物线的顶点为（1，－2），且过点（2，3）；
（2）已知抛物线经过三点（－1，2），（0，1），（2，－7）．
解：
（1）设抛物线的解析式为y=a(x－1)2－2，
把(2，3)代入上式得：3=a(2－1)2－2，∴a=5，
∴y=5(x－1)2－2=5x2－10x＋3．
（2）设函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，把（－1，2），（0，1），（2，－7）分别代入上式得：
∴y=－x2－2x＋1．
变式练习1
已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与y轴交于（0，4），与x轴交于（－2，0），（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求出抛物线的对称轴及顶点坐标．
答案：
（1）把（0，4），（－2，0），（4，0）分别代入y=ax2＋bx＋c得：
（2）
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，
）．
例2、已知抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0）．求抛物线的解析式．
解：
方法1：∵对称轴为x=2，∴
．（1）
把（1，4）和（5，0）分别代入y=ax2＋bx＋c得：
由（1）（2）（3）得
，
方法2：设y=a(x－2)2＋k，把（1，4），（5，0）代入得
变式练习2
已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表，求二次函数的解析式．
x
…
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
答案：
方法1：设y=ax2＋bx＋c，选取其中的三对值（0，5），（1，2），（2，1）代入上式得：
∴y=x2－4x＋5．
方法2：观察表格发现，当x=0与x=4时的函数值都是5，故该抛物线的对称轴为x=2，顶点为（2，1），故设y=a(x－2)2＋1，把（0，5）代入得5=a(－2)2＋1，
∴a=1，∴y=(x－2)2＋1=x2－4x＋5．
例3、已知抛物线的对称轴为x=2，顶点到x轴的距离为1，且过点（1，3）．求抛物线的解析式．
解：
∵对称轴为x=2，顶点到x轴的距离为1，
∴顶点坐标为（2，1）或（2，－1）．
设抛物线的解析式为y=a(x－2)2＋1 ①
或y=a(x－2)2－1 ②
把（1，3）代入①得3=a(1－2)2＋1，∴a=2，
∴y=2(x－2)2＋1=2x2－8x＋9．
把（1，3）代入②得3=a(1－2)2－1，∴a=4，
∴y=4(x－2)2－1=4x2－16x＋15．
抛物线的解析式是y=2x2－8x＋9或y=4x2－16x＋15．
变式练习3
若一抛物线与x轴两交点的距离为4，顶点为（1，8）．求抛物线的解析式．
答案：
∵顶点的横坐标为1，且与x轴两交点间的距离为4，
∴两交点坐标为（－1，0），（3，0）．
设抛物线的解析式为y=a(x－1)2＋8，
把（3，0）代入上式得0=a(3－1)2＋8，∴a=－2，
∴y=－2(x－1)2＋8=－2x2＋4x＋6．
变式练习4
已知一个二次函数，当x>2时，y随x增大而减小，当x<2时，y随x增大而增大，其图象与x轴交于A、B两点，且AB=2，其图象的顶点为C，且S△ABC=2．求二次函数的解析式．
答案：
设抛物线的对称轴与x轴交于D．依题意知，抛物线的对称轴为直线x=2．
又∵AB=2，∴A（1，0），B（3，0）．
∵S△ABC=
AB·DC=
×2×DC=2，
∴DC=2，∴C（2，2）．
设y=a(x－2)2＋2，把（1，0）代入上式得
0=a(1－2)2＋2，∴a=－2，
∴y=－2(x－2)2＋2=－2x2＋8x－6．
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