| 用函数观点看一元二次方程 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴公共点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根，因此可通过抛物线与x轴的公共点的个数来判断一元二次方程的根的情况．
（1）抛物线与x轴无公共点，对应着ax2＋bx＋c=0(a≠0)无实根，b2－4ac<0；
（2）抛物线与x轴只有一个公共点，对应着ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两相等的实根，b2－4ac=0；
（3）抛物线与x轴有两个公共点，对应着ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两不相等的实根，b2－4ac>0．
2、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象全部在x轴上方的等价条件为a>0，b2－4ac<0；抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象全部在x轴下方的等价条件为a<0，b2－4ac<0．
精讲精练：
例1、若抛物线y=mx2－2x－1与x轴有两个公共点，则m的取值范围是_________；若与x轴只有一个公共点，则m的取值范围是_________；若抛物线与x轴没有公共点，则m的取值范围是_________．
解：
（1）依题意，△=(－2)2－4·m·(－1)>0，且m≠0，
∴m>－1，且m≠0．
（2）依题意△=(－2)2－4·m·(－1)=0，且m≠0，
∴m=－1．
（3）依题意△=(－2)2－4·m·(－1)<0，且m≠0，
∴m<－1．
变式练习1
若抛物线y=x2－(2k＋1)x＋k2＋2与x轴有两个公共点，则整数k的最小值为_________．
答案：
△=(2k＋1)2－4×(k2＋2)>0，∴k>
，
∵k为整数，∴最小k=2．
例2、无论x取什么实数值，二次函数y=2x2－6x＋m的函数值总是正数，则m的取值范围是_________．
解：
∵a=2>0，且其函数值总为正数，
∴△=(－6)2－4×2×m<0，∴m>
，
此时关于x的一元二次方程2x2－6x＋m=0无实数根．
变式练习2
函数y=mx2＋x－2m(m是常数)的图象与x轴的公共点的个数为_________．
答案：
若m≠0，△=12－4·m·(－2m)=1＋8m2＞0，
此时与x轴有两个公共点；
若m=0，则y=x，此时与x轴有1个公共点，
故与x轴的公共点的个数为1个或2个．
例3、若抛物线y=－2x2＋mx－3的顶点在x轴的正半轴上，求m的值．
解：
依题意，抛物线与x轴只有1个公共点，
故△=m2－4×(－2)×(－3)=0，∴m=
．
又∵顶点在x轴的正半轴上，
，
∴m>0，∴m=
．
变式练习3
已知抛物线y=x2－x－1与x轴的一个公共点为(m，0)，求代数式m2－m＋2010的值．
答案：
0=m2－m－1，∴m2－m=1，
∴m2－m＋2010=2011．
例4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）方程ax2＋bx＋c=0的两个根；
（2）不等式ax2＋bx＋c>0的解集；
（3）若方程ax2＋bx＋c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：
（1）图象与x轴的两公共点的坐标为（1，0），（3，0），故方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1=1，x2=3；
（2）图象在x轴上方的部分的纵坐标大于0，故方程ax2＋bx＋c＞0的解集为1＜x＜3；
（3）方程ax2＋bx＋c=k的解可看作抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=k的交点的横坐标，从图象可看出，当k<2时，直线y=k与抛物线y=ax2＋bx＋c有两个交点，此时方程ax2＋bx＋c=k有两个不相等的实根．
变式练习4
直线y=x＋m与抛物线y=x2＋bx＋c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2＋bx＋c>x＋m的解（直接写出答案）．
答案：
（1）把A（1，0）代入y=x＋m得：
0=1＋m，∴m=－1．
把A（1，0），B（3，2）代入y=x2＋bx＋c得：
∴m=－1，
抛物线的解析式为y=x2－3x＋2．
（2）作出直线与抛物线的大致图象．
从图象上可看出不等式x2＋bx＋c>x＋m的解集为x<1或x>3．
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