例、已知抛物线y＝-x2+（m-2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0），交y轴的正半轴于C点，且x1＜x2，|x1|＞|x2|，OA2+OB2＝2OC+1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．
分析：
（1）已知x1＜x2，|x1|＞|x2|，很显然，x1＜0，x2＞0，因此OA＝-x1，OB＝x2，根据OA2+OB2＝2OC+1，以及一元二次方程根与系数的关系即可求出m的值．也就可得出函数的解析式．
（2）根据抛物线的解析式求出C点的坐标，然后分两种情况进行讨论：
①过C的直线与y轴平行（或与x轴垂直），那么此时直线与抛物线只有一个交点．
②如果直线不与y轴平行，可根据C点坐标，设出直线的解析式，联立抛物线的解析式可得出一个关于x的一元二次方程，因为两函数只有一个交点，因此方程的△＝0，由此可求出直线的解析式．
解：
（1）由条件知AO＝|x1|＝-x1，OB＝|x2|＝x2，OC＝3（m+1），
∵OA2+OB2＝2OC+1，x12+x22＝6（m+1）+1，
∴（x1+x2）2-2x1x2＝6（m+1）+1，
即（m-2）2+6（m+1）＝6（m+1）+1，
得：m1＝3，m2＝-1，
∵x1＜x2，|x1|＞|x2|，
∴x1＜x2＝m-2＜0，
∴m＝1．
∴函数的解析式为y＝-x2-x+6
（2）存在与抛物线只有一个公共点C的直线．C点的坐标为（0，6），
①当直线过C（0，6）且与x轴垂直时，直线也抛物线只有一个公共点，
∴直线x＝0．
②过C点的直线y＝kx+6，与抛物线y＝x2-x+6只有一个公共点C，
即
，只有一组实数解．
∴方程x2-（k+1）x＝0有两个等根，
∴△＝0，（k+1）2＝0，得k＝-1，
∴y＝-x+6．
∴符合条件的直线的表达式为y＝-x+6或x＝0．
点评：
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识．
