| 实际问题与二次函数（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
1、在现实生活中常会遇到一些求最大（或小）值的问题，如在产品的营销过程中何时获得最大利润，什么条件下用料最省、用时最少等等，这些问题大都可以转化为二次函数的最值问题，从而利用二次函数的图象和性质加以解决．
2、利用二次函数求最值问题的基本思路
认真审题，分析问题中各个量之间的关系，求出二次函数关系式；利用二次函数的关系式的顶点坐标公式或配方法求出最值，根据实际背景检验结果的合理性．
精讲精练：
例1、某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，获利不得高于40%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y=kx＋b，且x=70时，y=50；x=80时，y=40．
（1）求一次函数y=kx＋b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；并求销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？
解：
（1）依题意得
一次函数关系式为y=－x＋120．
（2）W=(x－60)(－x＋120)=－x2＋180x－7200=－(x－90)2＋900，
依题意60≤x≤84，
∵抛物线开口向下，∴当x<90时，W随x的增大而增大，
∴当x=84时，W有最大值为－(84－90)2＋900=864．
答：当售价定为84元/件时，商场可获最大利润，最大利润为864元．
变式练习1
某种鲜花的成本价为12元/盆，在销售过程中每盆鲜花售价x(元)与每日销量y(盆)之间的函数关系如图．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）每盆鲜花的售价定为多少时每日可获最大利润？最大利润是多少？
答案：
（1）用待定系数法可求得y=－10x＋200．
，∴12≤x≤20．
（2）设每日可获利润为W（元），
则W=(x－12)(－10x＋200)=－10(x－16)2＋160．
∵抛物线开口向下，且12≤x≤20，
∴当x=16时，W有最大值160．
即每盆鲜花的售价定为16元时，每日可获最大利润，最大利润为160元．
例2、某商品现在的售价为60元/件，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价，才能使利润最大？
解：
（1）设每件商品涨价x（元）时，所获利润为y（元），
则y＝(60＋x－40)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000
＝－10(x－5)2＋6250．
∵300－10x≥0，x≤30，∴0≤x≤30．
∵抛物线开口向下，且0≤x≤30，
∴当x=5时，y有最大值6250元．
（2）设每件降价x（元）时所获利润为y（元），则
y=(60－x－40)(300＋20x）
=－20x2＋100x＋6000
=－20(x－
)2＋6125．
∵60－x－40≥0，∴x≤20，∴0≤x≤20．
∵抛物线开口向下，且0≤x≤20，
∴当
时，y有最大值6125．
比较（1）、（2）得，每件涨价5元时才能获得最大利润，最大利润为6250元．
变式练习2
某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R元，售价为P元/只，且R、P与x的关系式分别为R=500＋30x，P=170－2x．
（1）假设每日获得利润为y元，请你写出y与x的函数关系式；
（2）请你利用（1）中得出的函数关系式对每天的生产情况和利润之间的关系进行分析．
答案：
（1）y=P·x－R=(170－2x)·x－(500＋30x)
=－2x2＋14x－500(0≤x≤40)
（2）∵y=－2x2＋140x－500=－2(x－35)2＋1950，
∵抛物线开口向下，且0≤x≤40，
∴当x=35时，y有最大值，
即当每天生产35只玩具时，可获得最大利润1950元．
∵当x<35时，y随x的增大而增大，当x>35时，y随x的增大而减小，
∴当每天生产的产品少于35只时，每天获得的利润y随x的增大而增大；
当每天生产的产品多于35只而不超过40只时，每天获得的利润y随x的增大而减小．
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