| 实际问题与二次函数（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识归纳:
建立二次函数模型可解决实际生活中形如抛物线的几何图形问题，如隧道、大桥和拱门等问题．要建立恰当的直角坐标系，把实际问题中的数据对应到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式及有关点的坐标可解决一些测量问题等．
精讲精练：
例1、一抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，水面宽4米，当水面下降1米时，水面宽度增加多少？
解：
方法1：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图1所示的直角坐标系．设水面
与抛物线的一个交点为A，下降1米后的水面为m，m与抛物线的一个交点为B，则A（2，－2）．设抛物线的解析式为y＝ax2，把A（2，－2）代入解得
．
，当水面下降1米时，B的纵坐标为－3，令y＝－3，则
．此时水面宽为
米，水面宽度增加
米．
图1
方法2：以水面
所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，
与抛物线交于A，下降1米后的水面交抛物线于B，则A（2，0），设抛物线为y＝ax2＋2，把A（2，0）代入解得
．设B（x，－1），代入
，此时水面宽增加
米．
图2
变式练习1：如图是一个抛物线形的桥洞，其函数解析式为
．当水面离桥顶的高度为3m时，水面宽AB为多少米？
答案：
如图OC＝3，设B（a，－3）．把B（a，－3）代入
得
，∴a＝±3，∵a＞0，∴a＝3．∴AB＝2BC＝6（米）．
即水面宽AB为6米．
例2、一所学校为了美化校园环境，要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安一个花形柱子OA，O恰好为水面中心，OA＝1.25米，安置在柱子顶端A处的喷水头向外喷水，水流在绕OA的各个方面上沿形状相同的抛物线路线落下（如图（1）所示），为了使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA的距离为1米处时距水面最大高度为2.25米．
（1）水池半径至少要多少米，才能使喷出水流不落在池外？
（2）若修水池每平方米造价130元，问修这个游泳池需多少资金？（π取3.14，精确到1元）
解：
如图（2）所示，以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，与OA垂直的方向为x轴建立直角坐标系．设抛物线的顶点为B，水流落下与x轴交点为C，依题意有A（0，1.25），B（1，2.25），C（x，0）．
设经过A，B，C三点所在的抛物线为y＝a（x－1）2＋2.25，把点A（0，1.25）代入得1.25＝a（0－1）2＋2.25，解得a＝－1．故所求抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋2.25．令y＝0，得0＝－（x－1）2＋2.25，解得x1＝2.5，x2＝－0.5（舍去），故游泳池半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至落到池外．（视频中应为x2＝－0.5）
（2）游泳池面积为S＝πr2＝π·OC2＝3.14×2.52＝19.625（米2）
修水池至少要花130×19.625≈2551（元）
变式练习2
一辆装满货物后宽度为2m的货车要通过跨度为8m，拱高为4m的单行道抛物线隧道，为保证通车安全，车从正中通过，车顶离隧道顶部至少要有0.5m的距离，求货车的限高应为多少米？（精确到0.01m）
答案：
如图，此抛物线的对称轴所在直线为y轴，与对称轴垂直的直线（视频中方向应为直线）为x轴建立如图所示的直角坐标系．由题意可知，抛物线的顶点为（0，4），与x轴的两交点为（－4，0），（4，0）．设抛物线的解析式为y＝ax2＋4．把（4，0）代入上式得0＝a·42＋4，
．∴抛物线的解析式为
．
∵货车宽2米，把x＝1代入
得，
，3.75－0.5＝3.25，故货车限高应为3.25米．
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