| 集合的含义与表示 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）．
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素．
2、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合．记作N，
．
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集．记作N*或N＋，
．
（3）整数集：全体整数的集合．记作Z，
．
（4）有理数集：全体有理数的集合．记作Q，
．
（5）实数集：全体实数的集合．记作R，
．
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0．
（2）非负整数集内排除0的集．记作N*或N＋．Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*．
3、集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合．
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法．
格式：{x∈A| P（x）}．
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合．
（3）文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法．
4、元素与集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
．
5、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可．
（2）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）．
（3）互异性：集合中的元素不能重复．
6、点集与数集
点集：平面直角坐标系中的点组成的集合是点集；
数集：数轴上的点组成的集合是数集．
7、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合．
（2）无限集：含有无限个元素的集合．
（3）空集：不含任何元素的集合．记作Φ，如：
．
二、例题讲解
例1、设集合G中的元素是所有形如a＋b
（a∈Z，b∈Z）的数，求证：
（1）当x∈N时，x∈G；
（2）若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而
不一定属于集合G．
证明：
（1）在a＋b
（a∈Z， b∈Z）中，令a=x∈N，b=0，
则x= x＋0·
= a＋b
∈G，即x∈G．
（2）∵x∈G，y∈G，
∴x= a＋b
（a∈Z，b∈Z），y= c＋d
（c∈Z， d∈Z）
∴x＋y=( a＋b
)＋( c＋d
)=(a＋c)＋(b＋d)
∵a∈Z，b∈Z，c∈Z，d∈Z．
∴(a＋c)∈Z，(b＋d)∈Z
∴x＋y =(a＋c)＋(b＋d)
∈G，
又∵
＝
且
不一定都是整数，
∴
＝
不一定属于集合G．
例2、用列举法表示下列集合
（1）A={x|x=|x|，x∈Z，且x＜5}；
（2）B={(x，y)|x＋y=6，x∈N*，y∈N*}；
（3）
a，b为非零实数}；
（4）
．
分析：
（1）根据x的范围解方程；（2）求不定方程x＋y=6的正整数解；（3）根据绝对值的意义化简；（4）所求的x要满足两个条件：①x是正整数，②x使
是整数．
解：
（1）∵x=|x|，∴x≥0，又∵x∈Z且x＜5，
∴x=0，1，2，3，4，∴{x|x=|x|，x∈Z且x＜5}用列举法表示为：{0，1，2，3，4}；
（2）B={（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}；
（3）当a＞0，b＞0时，x=2；当a＜0，b＜0时，x=－2；
当a，b异号时，x=0，∴C={－2，0，2}；
（4）由题意知3－x是6的约数，∴3－x=±1，±2，±3，±6，所以x=0，－3，1，2，4，5，6，9，又x∈N*，∴D={1，2，4，5，6，9}．
说明：
使用列举法时，应注意以下四点：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．
例3、已知集合A={x|ax2－3x＋2=0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来．
分析：
首先要明确，集合A是关于x的方程ax2－3x＋2=0（a∈R）在实数集内的解的集合．（1）方程无解；（2）方程有且只有一解．
解：
（1）∵A是空集，∴关于x的方程ax2－3x＋2=0（a∈R）无实数解．
∴
解得
；
（2）∵集合A中只有一个元素，∴关于x的方程ax2－3x＋2=0（a∈R）有且只有一解，若a=0，则原方程变为－3x＋2=0，只有一解
；若a≠0，则方程有两相等实根，Δ=(－3)2－8a=0，解得
．∴a=0或
时，A中只有一个元素．
例4、数集A满足条件：若a∈A，a≠1，则
，
证明：（1）若2∈A，则集合A中还有另外两个元素；
（2）若a∈R，则集合A不可能是单元素集．
分析：
反复利用题设：若a∈A，a≠1，则
，注意角色转换，单元素集指集合中只有一个元素．
证明：
（1）∵2∈A，∴
，于是
，而
，
∴A中还有－1，
两个元素．
（2）假设A是单元素集，则必有
，即a2－a＋1=0．
△=(－1)2－4×1×1=－3＜0，方程没有实数解，故假设不成立，A不可能是单元素集．
例5、已知集合
，其中a∈R．
（1）若5是集合A中的一个元素，求a的值．
（2）是否存在实数a，使得A中的最大元素是12？若存在，求出对应的a的值；若不存在，试说明理由．
解析：
（1）若
，解得
，此时都有
，
．
若
，解得
，此时
符合题意，
∴a的值为－6或4．
（2）若存在这样的实数，则
，且
，
或
，且
，解得a的值为3或－5．
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