| 幂函数 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、定义：形如y=xα的函数.
2、幂函数性质归纳：
（1）所有的幂函数在（0，＋∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
上是增函数．
特别地，当0<α<1时，幂函数的图象上凸；当α>1时，幂函数的图象下凸；
（3）α<0时，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
二、例题讲解
例1、比较下列各组中两个值的大小
解：
（1）由于幂函数
在（0，＋∞）内单调递增，且1.5<1.6.
∴
.
（2）由于幂函数
在（0，＋∞）内单调递增，且0.6<0.7.
∴
.
（3）由于幂函数
在（0，＋∞）内单调递减，且3.5<5.3.
∴
.
（4）由于幂函数
在（0，＋∞）内单调递减，且0.18>0.15.
∴
.
例2、函数f(x)=(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，且函数f(x)为偶函数，求m的值．
解：
∵f(x)=(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，
∴m2－3m＋3=1，即m2－3m＋2=0，
∴m=1或m=2．
当m=1时，f(x)=x3为奇函数，不符合题意．
当m=2时，f(x)=x4为偶函数，满足题目要求，
所以m=2．
例3、讨论函数
的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的增减性．
解：
函数
，定义域是实数集R，
因为
，所以函数
是偶函数，
因此它的图象关于y轴对称，作这个函数在[0，＋∞）上的图象，列表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
1
1.59
2.08
2.52
…
再根据这个函数的图象关于y轴对称，作出它的图象，如图所示．由它的图象可以看出，这个函数在区间（－∞，0）上是减函数，在区间[0，＋∞）上是增函数．
例4、已知幂函数y=x3m－9(m∈N+)的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上函数值随x的增大而减小，求满足
的a的取值范围．
解析：
∵函数y=x3m－9在（0，＋∞）上递减，
∴3m－9<0，解得m<3．
又m∈N+，∴m=1或m=2．
当m=1时，y=x－6是偶函数，∴m=1.
当m=2时，y=x－3是奇函数，∴m≠2.
∴有
．
又∵
在（－∞，0），（0，＋∞）上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，解得
或a<－1．
高一全科点睛班课程 高一全科强化班课程 高二全科全年强化班 高三全科强化班课程 初一全科强化班课程 初一全科点睛班课程 初二全科强化班视频 初二全科点睛班课程 初三全科强化班 全科巨无霸同步提高课程 小学全年全科强化班
- 返回 -
