| 方程的根与函数的零点 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、函数零点的定义：对于函数
，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数
的零点．
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
二、例题讲解
例1、试讨论函数f(x)=x2－2|x|－a－1(a∈R)的零点个数.
解：
原函数的零点个数即为x2－2|x|－1=a的实根的个数，在同一直角坐标系中作出函数y=x2－2|x|－1与y=a的图像（图像在视频中）.
由图可知：a<－2时，f(x)有0个零点；
a=－2时，f(x)有2个零点；
－2<a<－1时，f(x)有4个零点；
a=－1时，f(x)有3个零点；
a>－1时，f(x)有2个零点.
例2、若函数f(x)=ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是_________．
解：
设函数y=ax(a>0且a≠1)和函数y=x＋a，则函数f(x)有两个零点，就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x＋a有两个不同的交点，在同一直角坐标系中作出y=ax(a>0且a≠1)与y=x＋a的图象（图像在视频中）.
a>1时，x=1时，a1<1＋a，且x→＋∞时，ax>x＋a(视频中书写错误，应为ax>x＋a).
∴a>1时，此两函数图象有两个交点.
0<a<1时，由图像可知此时y=ax与y=x＋a只有一个交点.
所以实数a的取值范围是a>1．
例3、已知关于x的方程
有两个小于0的零点，求k的取值范围．
解：
由题意可得k－2≠0.
故
，解得
.
注：对于一元二次函数f(x)=ax2＋bx＋c(a>0)的零点的分布：
设f(x)的零点为x1，x2，且x1<x2.
则（1）若x1<x2<0，则
.
（2）若0<x1<x2，则
.
（3）若x1<0<x2，则
.
（4）若x1<x2<m，则
（也可以是
）
（5）若m<x1<x2，则
（也可以是
）
（6）若x1<m<x2，则
（也可以是f(m)<0）.
（7）若m<x1<n<x2<k，则
.
（8）在（m，n）内有且只有一个零点，则
.
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