| 用二分法求方程的近似解 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地将函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2、用二分法求函数零点的近似值
已知函数
的定义域为区间D，求它在D上的一个零点x0(变号零点)的近似值，使它与零点的误差不超过
(
>0)．
第一步：在D内取一个闭区间
，使
与
异号，即
．
令
．
第二步：取
，计算f(x0)和f(a0).
判断：①如果
，则
就是
的零点，计算终止．
②如果
，则零点位于区间
中，令
．
③如果
，则零点位于区间
中，令
．
第三步：取
，计算f(x1)和f(a1).
判断：①如果
，则x1就是
的零点，计算终止．
②如果
，则零点位于区间
中，令
．
③如果
，则零点位于区间
中，令
．
…
重复以上步骤，直到求出近似解.
二、例题讲解
例1、判断函数y=x3－x－1在区间[1，1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点（精确度为0.1）．
解：
设f(x)=x3－x－1，则f(1)=－1，f(1.5)=0.875>0，∴f(x)在区间[1，1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点值
中点函数近似值
[1，1.5]
1.25
－0.3
[1.25，1.5]
1.375
0.22
[1.25，1.375]
1.3125
－0.05
[1.3125，1.375]
1.34375
0.08
由于1.375－1.3125=0.0625<0.1，
所以函数的一个近似零点为1.3125．
例2、关于x的方程
存在零点，则
_______．
解：
令
，则t>0，原方程变形为
．
此方程存在大于零的零点.
当方程有2个大于零的零点时，满足
．∴
．
∵x1x2=4>0，∴此方程不可能有一个大于零与一个小于或等于零的零点.
综上可得
.
例3、求使
成立的零点的集合.
解：
当x<2时，方程
，解得x=0，或x=1；
当x=2时，方程为0=2，无解；
当x>2时，
，解得
，
综上可知，所求解集为
．
例4、在26枚崭新的金币中，有一枚外表相同却质量稍轻的假币，现在只有一架天平，请问最多称几次就可以发现这枚假币？
解：
最多4次．第1次将26枚金币平均分成两份，放在天平两盘中，假币一定在轻的那13枚金币里面；第2次将这13枚金币拿出一枚，将剩余的12枚平均分成两份再称，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定是较轻的那6枚里面；第3次将这6枚平均两份，则假币一定在轻的那3枚里面；第4次将这3枚取任意2枚放在天平上，若平衡，则剩余的那一枚即为假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币．综上知，最多称4次就可以发现这枚假币．
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