| 集合间的基本关系 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A．
记作：
．
读作：A包含于B或B包含A．
若任意
．
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A
B或B
A．
注：
有两种可能
（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合．
2、集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B．
3、真子集：对于两个集合A与B，如果
，并且
，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：A
B或B
A，读作A真包含于B或B真包含A．
4、子集与真子集符号的方向
．
5、空集是任何集合的子集．Φ
A．
空集是任何非空集合的真子集．若A≠Φ，则Φ
A．
任何一个集合是它本身的子集．
．
6、易混符号
①“∈”与“
”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系．如
Φ
R，{1}
{1，2，3}.
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合．
如Φ
{0}．不能写成Φ={0}，Φ∈{0}.
二、例题讲解
例1、集合
则集合M与N的关系是__________．
点拨：
分别令n=…，－1，0，1，2，3，…，得
所以M
N．
答案：M
N
例2、设集合A={x|a－2＜x＜a＋2}，B={x|－2＜x＜3}，若A
B，求实数a的取值范围．
分析：集合A，B是两个数集，可利用数轴作图如图所示，比较即得解．
解：使A
B的实数a应满足的条件为
于是0≤a≤1．
说明：
解此类问题应特别注意端点问题，不要遗漏．
请思考：
①将条件A
B改为A
B时结论有何变化？
②若将条件A
B改为B
A，是否存在实数a满足条件呢？
例3、若集合A={x|x2＋x－6=0}，B={x|mx＋1=0}，且B
A，求m的值．
分析：
要解决本问题，首先要搞清楚A集合的元素是什么，然后根据B
A，求m的值．
解：
A={x|x2＋x－6=0}={－3，2}．
∵B
A，∴mx＋1=0的解为－3或2或无解．
当mx＋1=0的解为－3时，由m·(－3)＋1=0，得
；
当mx＋1=0的解为2时，由m·2＋1=0，得
；
当mx＋1=0无解时，m=0．
综上所述，
或m=－
或m=0.
说明：
空集是任何非空集合的真子集，所以B可以是空集，此种情况容易忽略，千万要小心．
例4、已知A={1，1＋d，1＋2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求d，q的值．
分析：
由A=B可知：A与B含有相同的元素，根据这一点就可建立关于d与q的方程组，从而可解得d，q的值．
解：
∵A=B，∴
或
由①2－②可得：(1＋d)2=1＋2d，解之得d=0.
但当d=0时，1＋d=1＋2d=1与集合元素互异性相矛盾，应舍去．
由④2－③可得：(1＋2d)2=1＋d，即4d2＋3d=0，
或d=0（舍去）．
当
时，
．
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