| 集合间的基本运算 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集．
记作A
B（读作‘A交B’），即A
B=｛x|x
A，且x
B｝．
2、并集的定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集．
记作：A
B（读作‘A并B’），即A
B ={x|x
A，或x
B}．
3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即
），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作
，即
=
．
性质：
.
全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S，U表示
4、运算性质：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
．
二、例题讲解
例1、设集合A={－4，2m－1，m2}，B={9，m－5，1－m}，又A
B={9}，求实数m的值．
解：
∵A
B={9}，∴2m－1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=－3．
若m=5，则A={－4，9，25}，B={9，0，－4}与A
B={9}矛盾；
若m=3，则B中元素m－5=1－m=－2，与B中元素互异矛盾；
若m=－3，则A={－4，－7，9}，B={9，－8，4}满足A
B={9}．∴m=－3．
例2、设A={x|x2＋ax＋b=0}，B={x|x2＋cx＋15=0}，又A
B={3，5}，A∩B={3}，求实数a，b，c的值．
解：
∵A∩B={3}，∴3∈B，∴32＋3c＋15=0，
∴c=－8，由方程x2－8x＋15=0解得x=3或x=5．
∴B={3，5}．由A
（A
B）={3，5}知，3∈A，5
A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）.
故必有A={3}，∴方程x2＋ax＋b=0有两相同的根3．
由韦达定理得3＋3=－a，3
3=b，即a=－6，b=9，c=－8．
例3、已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值．
解：
A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，
且－1≤x1≤0，①
由A∪B=（－2，＋∞）知－2≤x1≤－1. ②
由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2．
例4、已知A={x|x2－ax＋a2－19=0}，B={x|x2－5x＋8=2}，C={x|x2＋2x－8=0}.若
A∩B，且A∩C=
，求a的值．
解：
∵B={x|(x－3)(x－2)=0}={3，2}，
C={x|(x＋4)(x－2)=0}={－4，2}，
又∵
A∩B，
∴A∩B≠
．
又∵A∩C=
，
∴可知－4
A，2
A，3∈A．
∴由9－3a＋a2－19=0，
解得a=5或a=－2．
①当a=5时，A={2，3}，此时A∩C={2}≠
，矛盾，∴a≠5；
②当a=－2时，A={－5，3}，此时A∩C=
，A∩B={3}≠
，符合条件．
综上①②知a=－2．
例5、已知全集U={不大于20的质数}，M，N是U的两个子集，且满足M∩（
）={3，5}，（
）∩N={7，19}，（
）∩（
）={2，17}，求M、N．
解：
用图示法表示集合U，M，N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：
M={3，5，11，13}，N={7，11，13，19}.
点评：
本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素．
特别提示：下列四个区域：
对应的集合分别是：
①—
；②—
；③—
；④—
．
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