| 函数的表示法 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的函数．记作：f：
．
说明：（1）函数的三要素：定义域、值域、对应关系（或对应法则）；
（2）函数符号
表示“
是
的函数”，可简记为函数
，有时也用
．
（3）
的意义：自变量
取确定的值
时，对应的函数值用符号
表示；
（4）定义域：自变量
的取值的集合，值域：函数值
的集合；
（5）两个函数相同：当且仅当函数的三要素全相同．
2、区间的概念：
设
是两个实数，而且
，规定：
（1）满足不等式
的实数
的集合叫做闭区间，表示为
；
（2）满足不等式
的实数
的集合叫做开区间，表示为
；
（3）满足不等式
或
的实数
的集合叫做半开半闭区间，表示为
，
．
（4）满足
，
，
，
的实数
的集合分别表示为
，
，
，
．
3、函数常用的表示方法有三种：列表法、图象法、解析法，三种表示方法的比较．
表示法
定义
优点
缺点
列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
它只能表示自变量可以一一列出的函数关系
图像法
利用“图形”表示函数的方法
能形象直观地表示出函数的变化情况
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大
解析法
如果在函数
中，
是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫解析法（也称为公式法）
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值
不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来
4、函数的解析式的求法
求函数的解析式的常用方法有：
（1）代入法：如已知
，求
时，有
．
（2）待定系数法：已知
的函数类型，要求
的解析式时，可根据类型设其解析式，从而确定其系数即可．
（3）拼凑法：已知
的解析式，要求
时，可从
的解析式中拼凑出“
”，即用
来表示，再将解析式的两边的
用x代替即可．
（4）换元法：令
，再求出
的解析式，然后用x代替两边所有的t即可．
二、例题讲解
例1、已知
，
（1）求
的值；
（2）求
的值；
（3）求
的值．
分析：
和
的值由于解析式已给出，直接计算即可，而
实际上是两次求值．
解：
（1）因为
，
所以
．
（2）
．
（3）
，
．
点拨：对于
中的“x”与
中的“2x－1”实质上是相同的．
例2、已知函数
求
和
的表达式．
解：
当2x－1≥0，即
时，
；
当2x－1<0，即
时，
．∴
例3、已知
，求
的解析式．
解法1：
令
，则
，代入原式有，
．
．
解法2：
，
．
即
．
例4、已知
，求一次函数
的解析式．
解：
因
为一次函数，设
，则
．
则由
解得
或
或
．
例5、如果函数
满足方程
，且
为常数，且
，求
．
解：
，①
将x换成
，则
换成x，得
，②
由①、②消去
即①×a－②得
．
，即
．
点拨：
本题是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，而得到
的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法．
例6、设
是R上的函数，且满足f (0)=1，并且对任意实数x，y，有
，求
的解析式．
解法一：
设x=y，得
．
，即
．
解法二：
令x=0，则
．
即
．
令－y=x，则有
．
点拨：
（1）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数．至于取什么特殊值，根据题目特征而定．
（2）通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式．
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