| 函数的定义域 |
主讲：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、已知函数式求定义域：
例1、求下列函数的定义域：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
．
解：
（1）
，即
；（2）
，即
；
（3）
且
，即
．
（4）要使函数有意义，应满足
，即
．
∴函数的定义域为
．
（5）要使函数有意义，应满足
，即
．
∴函数的定义域为
．
点拨：
要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解．
2、求抽象函数的定义域
讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数
的定义域，不管“
”中的“x”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x的范围．
例2、已知
的定义域为
，求
，
的定义域．
解：
∵
的定义域为
，
∴
，∴
，
即
的定义域为
，
由
， ∴
，
即
的定义域为
．
点拨：
若
的定义域为
，则
的定义域是
的解集．
例3、已知
的定义域为
，求
，
的定义域．
解：
∵
的定义域为
， ∴
即
的定义域为
．
又∵
的定义域为
，
∴
，∴
即
的定义域为
．
点拨：
已知
的定义域
，则当
时，y=kx＋b的函数值的取值集合就是
的定义域．
例4、已知函数
的定义域是[a，b]，其中a<0<b，且|a|>b，求函数
的定义域．
解答：
∵函数
的定义域为[a，b]，∴a≤x≤b，
若使
有意义，必须有a≤－x≤b即有－b≤x≤－a．
∵a<0<b，且|a|>b，∴a<－b且b<－a．
∴
的定义域为
．
点拨：
若
的定义域为
及
的定义域分别为A、B，则有
借助于数轴分析可求得．
3、函数定义域的逆用
讲解：已知函数的定义域求解其中参数的取值范围时，若定义域为R时，可采用判别式法，若定义域为R的一个真子集时，可采用分离变量法．
例5、已知函数
的定义域是R，求实数k的取值范围．
解答：
①当k=0时，函数
，显然它的定义域是R；
②当k≠0时，由函数y的定义域为R可知，不等式
对一切实数x均成立，因此一定有
．
解得0<k≤1，∴0≤k≤1．
点拨：
此题是已知函数y的定义域，据此逆向求解函数中参数k的取值，需要将问题准确转化成不等式问题．
例6、半径为R的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x的函数关系式，并写出它的定义域．
解：
如图所示，AB=2R，CD在⊙O在半圆周上．
设腰AD=BC=x，作DE⊥AB．垂足为E，连BD．
由Rt△ADE∽Rt△ABD
，
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