| 函数的值域的求法 |
主讲：黄冈中学数学高级教师 汤彩仙
一、知识概述
1、观察法
所谓观察法是指：对于一些简单的函数，可通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域．
例1、求下列函数的值域：
（1）
，
；
（2）
．
解析：
（1）∵
，且
，∴
．
所以函数的值域为{3，5，7，9，11}．
（2）
，且
，
∴
的值域是{y∈R|y≠1}．
点拨：
通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出待求函数的值域．
2、配方法
对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解问题的要求，采用配方的方法来解决，对于含有二次三项式的函数，也常用配方的方法来求值域．
例2、求下列函数的值域：
（1）
；
（2）
．
解析：
（1）配方得
．
∵
，由图所示知，函数的值域为[2,11)．
（2）
，
显然，
的最大值是9，故函数
的最大值是3，且y≥0．
∴函数
的值域是[0，3]．
点拨：
二次函数在定义域范围内求值域的问题，可用配方法，结合二次函数的图像来求．
3、换元法
对一些无理函数或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出．
例3、求下列函数的值域：
（1）
；
（2）
．
解：
（1）设
，则t≥0，且
，于是
，
即
．故函数
的值域为
．
（2）令
，则
，于是
代入原函数式整理后得：
（注意t≥0）．利用二次函数图像可求得
．
所以原函数的值域是
．
点拨：
通常脱掉根号的方法就是换元法，利用变量代换把本来比较难以处理的问题化成简单的二次函数问题，从而将复杂的函数的求值域问题转化为简单函数的值域问题，注意确定辅助元的取值范围．
4、判别式法
所谓判别式法就是利用一元二次方程根的判别式求函数值域的方法．
若一个有理函数式
可化为关于x的一元二次方程，则可利用
而求得函数的值域．
例4、求下列各函数的值域：
（1）
；
（2）
．
解析：
（1）方法一（部分分式法）：
，
令
，
，
故
.
方法二（判别式法）：由
可知，对
，分母
恒不为零．
则原式可变形为
，整理成关于x的方程得
．①
当y=3时，不合要求
∴y≠3，
≥0，
解之
，又y≠3.
∴函数
的值域为
．
（2）由
可知，对
，分母
恒不为零，
则原式可变形为
，整理成关于x的方程得
，
当y=0时，x=0，符合要求.
当y≠0时，由Δ=4－4y2≥0，解得－1≤y≤1，且y≠0．
综上，函数的值域为[－1，1]．
点拨：
在使用判别式法求值域时，（1）对转化得到的整式方程，当二次项系数是含有字母的系数时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况讨论，只有当二次项系数不为零时，才能使用判别式；（2）当原函数的定义域不是R时，求得值域后必须对定义域的端点值进行验证．
例5、已知函数
的值域为[1，3]，求a、b的值．
解析：
，
，
当
时，
，即
，
整理得
．
∵
，∴1，3是方程
的两根，
则有
，解得a=±2，b=2．
点拨：
解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的关系，求出a，b的值．
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