| 函数的单调性与最值 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、增函数与减函数
定义：对于函数
的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
，(1)若当
<
时，都有
<
，则说
在区间D上是增函数，D称为f(x)的一个单调递增区间；(2)若当
<
时，都有
>
，则说
在区间D上是减函数，D称为f(x)的一个单调递减区间．
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数
，当
∈[0，＋
)时是增函数，当
∈(－
，0)时是减函数．
2、函数的最大值与最小值
一般地，设函数
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的
，都有
；
（2）存在
，使得
．
那么，我们称M是函数
的最大值．
一般地，设函数
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的
，都有
；
（2）存在
，使得
．
那么，我们称M是函数
的最小值．
二、例题讲解
例1、(1)证明函数
在（0，1）上是减函数；
(2)证明函数
在定义域上是减函数．
分析：
证明的关键是对f(x2)－f(x1)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积的形式．
证明：
(1)设0<x1<x2<1，则x2－x1>0，
引申：函数
的单调递增区间为
；单调递减区间为
．
函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间．
提示：
(1)有的同学认为由0≤x1<x2，得
多么直接呢，其实这种证明方法不正确，因为我们没有这样的性质作依据．其次，这种证明利用了函数
的单调性，而
的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用．
(2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法．
例2、讨论函数
在(－2，2)内的单调性．
解：
∵
，对称轴
.
∴若
，则
在(－2，2)内是增函数；
若
，则
在(－2，a)内是减函数，在(a，2)内是增函数.
若
，则
在(－2，2)内是减函数．
例3、如果二次函数
在区间
上是增函数，求
的取值范围．
解：
二次函数
在区间
上是增函数，由于其图像开口向上，
故其对称轴
或与直线
重合，或位于直线
的左侧．
于是有
，解得a≤2．故
，即
≥7．
例4、f (x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)<f(x2－1)，求x的取值范围．
解：
由题意可得
，
解之得
．
∴x的取值范围是
.
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