| 一元二次函数在闭区间上的最值 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
（一）正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：
（1）轴定，区间定；
（2）轴定，区间变；
（3）轴变，区间定；
（4）轴变，区间变．
（二）逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值．
二、例题讲解
例1、求函数
在[t，t＋2]上的最小值．
解析：
，
（1）当
，即
时，
在[t，t＋2]上单调递减，
.
（2）当
，即
时，
.
（3）当
时，
在[t，t＋2]上单调递增，
．
例2、求函数
在区间[－1，1]上的最小值．
解析：
．
（1）当
，即a≤－2时，
；
（2）当
，即
时，
；
（3）当
，即a≥2时，
．
综上，
．
点评：
已知
，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得
在
上的最大值或最小值．
例3、求函数f(x)
上的最小值．
解析：
f(x)
．
当
，即
时，
；
当
，即a>1时，
．
所以
．
例4、已知函数
在区间[－3，2]上的最大值为4，求实数a的值．
解析：
．
（1）若a=0，
，不合题意．
（2）若a>0，则
，由
，得
．
（3）若a<0，则
，由1－a=4，得a=－3．
综上知
或a=－3．
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