| 函数的奇偶性 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、偶函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．例如：函数
，
等都是偶函数．
2、奇函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．例如：函数f(x)=x，
都是奇函数．
3、奇偶性的定义：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(－x)=f(x)或f(－x)=－f(x)必有一成立．
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(－x)，看是等于f(x)还是等于－f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性．
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数．
（4）函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(－x)=f(x)也满足f(－x)=－f(x)．
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
（6）奇函数若在x=0时有定义，则f(0)=0．
二、例题讲解
例1、判断下列函数的奇偶性：
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
；
（5）
解析：
（1）∵函数的定义域为R．
．
∴f(x)是偶函数．
（2）由
，得定义域为[－1，1），∵定义域不关于原点对称．
∴f(x)是非奇非偶函数．
（3）由
得
且
．
∴函数的定义域为
．
，由
．
∴f(x)是奇函数．
（4）由
得函数的定义域为{－2，2}，且f(x)=0．
∴f(x)是既奇又偶函数．
（5）∵函数f(x)的定义域为R．
．
∴f(x)是偶函数．
点拨：
判定函数的奇偶性的方法及注意事项：
（1）定义法：先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x∈[－1，2]，即非奇函数又非偶函数．若定义域关于原点对称，再去验证f(－x)=f(x)，或f(－x)=－f(x)．
（2）和差法：若f(x)＋f(－x)=0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)=0，则f(x)为偶函数．
（3）比值法：若
（或－1）(f(－x)≠0)，则f(x)为偶（奇）函数．
（4）图象法：可直接根据图象的对称性来判定奇偶性．
（5）判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段函数都具有f(－x)=－f(x)或f(－x)=f(x)的特征，才能说明该函数的奇偶性．一般方法是在一个区间上设自变量，再向对称区间转化，并且应该进行双向验证，若函数在x=0处有定义，还要对f(0)加以验证．
例2、已知奇函数f(x)的定义域为R，当x>0时，
，求f(x)的表达式．
解法一：
设x<0，则－x>0．
．
∵
是奇函数，∴
．
当x=0时，
，
解法二：
．
其图像如图所示．
∵f(x)是奇函数，∴它的图像关于原点对称．
∴当x<0时，f(x)的图像的顶点为（－1，－2）且二次项系数为－1．
∴x<0时，
．
又由
，令x=0，得f(0)=0.
点拨：
上述两种方法都是求函数表达式的基本方法．要注意定义域含x=0的奇函数的图像必过原点．
例3、设f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)=
，求f(x)、g(x)的解析式．
解析：
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)=f(x)，g(－x)=－g(x)．
将f(x)＋g(x)=
中的x用－x替换可得f(－x)＋g(－x)=
，
将f(－x)=f(x)，g(－x)=－g(x)代入上式，得f(x)－g(x)=
，
将其与f(x)＋g(x)=
联立，解得
．
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