函数的奇偶性同步测试
一、选择题
1、函数，那么f(x)的奇偶性是（ ） A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 2、设奇函数f(x)在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3、在R上定义的函数f(x)是偶函数，且．若在区间上是减函数，则f(x)（ ） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 4、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意有，则下列说法一定正确的是（ ） A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数 5、设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足的所有x之和为（ ） A．－3 B．3 C．－8 D．8
1、函数，那么f(x)的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
A．奇函数
B．既不是奇函数也不是偶函数
C．偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
2、设奇函数f(x)在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
A．
B．
C．
D．
3、在R上定义的函数f(x)是偶函数，且．若在区间上是减函数，则f(x)（ ）
A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
A．在区间上是增函数，在区间上是增函数
B．在区间上是增函数，在区间上是减函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
4、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意有，则下列说法一定正确的是（ ）
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
5、设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）
A．－3 B．3 C．－8 D．8
A．－3 B．3
C．－8 D．8
提示：
1、定义域为R，且，故f(x)为奇函数．
2、，奇函数在对称区间上有相同的单调性，故奇函数f(x)在上单调递增，且f(－1)=－f(1)=0.
当x<0时，f(x)>0=f(－1)，故－1<x<0，当x>0时，f(x)<0=f(1)，则0<x<1.故选D.
3、由可知f(x)图象关于x=1对称，又因为f(x)为偶函数，图象关于x=0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可知选B．
4、令x1=x2=0，则f(0)=f(0)＋f(0)＋1，
∴f(0)=－1．
令x1=x，x2=－x，则f(0)=f(x)＋f(－x)＋1，
所以f(x)＋1＋f(－x)＋1=0，即f(x)＋1=－[f(－x)＋1]．
5、依题当满足时，即时，得，
此时又f(x)是连续的偶函数，∴，
∴另一种情形是，即，
得，∴
∴满足的所有x之和为
二、填空题
6、已知函数，若，则=____________．
6、－26
解析：构造函数，则一定是奇函数.
又∵，∴.
因此，所以，即．
7、若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式f(x)=______________．
7、
解析：∵f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，
且值域为，
三、解答题
8、设f(x)在R上是偶函数，在区间上递增，且有．求a的取值范围．
8、解：由f(x)在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增知f(x)在（0，＋∞）上递减．
， 且， 即，解之得：．
，
且，
即，解之得：．
9、已知f(x)是偶函数，且在上是减函数，判断f(x)在上是增函数还是减函数，并加以证明．
9、解：设x1＜x2＜0，则－x1＞－x2＞0，
因为f(x)在上是减函数，则． 因为f(x)为偶函数，所以， 由此可得f(x)在上是增函数．
因为f(x)在上是减函数，则．
因为f(x)为偶函数，所以，
由此可得f(x)在上是增函数．
10、若对于一切实数x,y，都有. （1）求f(0)，并证明f(x)为奇函数； （2）若f(1)=3，求f(－3)．
10、若对于一切实数x,y，都有.
（1）求f(0)，并证明f(x)为奇函数； （2）若f(1)=3，求f(－3)．
（1）求f(0)，并证明f(x)为奇函数；
（2）若f(1)=3，求f(－3)．
10、解：（1）由于对一切实数x,y，都有，
故在上式中可令x=y=0，则有，所以．
再令y=－x，则有：，
所以，即，故f(x)为奇函数．
（2）由于f(x)为奇函数，且，
．
11、已知，讨论函数f(x)的性质，并作出图象．
11、解：函数定义域为R，∵，
∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
当时，f(x)>0．设，则
当时，易知，则在上是增函数；
当时，易知，则在上是减函数．
当x=1时，f(x)的最大值是1．
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，那么f(x)的奇偶性是
上为增函数，且
，则不等式
的解集为
．若
在区间
上是减函数，则f(x)
上是增函数，在区间
上是增函数
上是增函数，在区间
上是减函数
上是减函数，在区间
上是增函数
上是减函数，在区间
上是减函数
有
，则下列说法一定正确的是
的所有x之和为
，故f(x)为奇函数．
，奇函数在对称区间上有相同的单调性，故奇函数f(x)在
上单调递增，且f(－1)=－f(1)=0.
可知f(x)图象关于x=1对称，又因为f(x)为偶函数，图象关于x=0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可知选B．
时，即
时，得
，
又f(x)是连续的偶函数，∴
，
，即
，
，∴
的所有x之和为
，若
，则
=____________．
，则
一定是奇函数.
，∴
.
，所以
，即
．
（常数
）是偶函数，且它的值域为
，则该函数的解析式f(x)=______________．
且值域为
，
上递增，且有
．求a的取值范围．
，
，
，解之得：
．
上是减函数，判断f(x)在
上是增函数还是减函数，并加以证明．
上是减函数，则
．
，
上是增函数．
.
，
，所以
．
，
，即
，故f(x)为奇函数．
，
．
，讨论函数f(x)的性质，并作出图象．
，
时，f(x)>0．设
，则
，
时，易知
，则
在
上是增函数；
时，易知
，则
在
上是减函数．