牛顿第二定律解决临界状态的问题同步测试
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1、如图所示，质量分别为m和2m的两物体A、B叠放在一起，放在光滑的水平面上，已知A、B间的最大静摩擦力为A物重力的μ倍，当用水平力分别作用在A或B上，使A、B保持相对静止做加速运动，则作用于A、B上的最大拉力FA与FB之比为多少?
解析：力F作用在A上时，A对B的摩擦力提供了B的加速度，力F作用于B上时，B对A的摩擦力提供了A的加速度．
当FA作用于A物上时，B所受最大摩擦力为μmg，得
B物体最大加速度
由于系统内A、B相对静止，故外力大小
FA=(m＋2m)am=3m×
当FB作用于B物体上时，A所受最大摩擦力为μmg，得
A物体的最大加速度
同理得FB=(m＋2m)a′m=3μmg，所以
2、如图所示，两个质量都为m的滑块A和B，紧挨着并排放在水平桌面上，A、B间的接触面垂直于图中纸面与水平面成θ角，所有接触面都光滑无摩擦．现用一个水平推力作用于滑块A上，使A、B一起向右做加速运动．试求：
(1)如果要使A、B间不发生相对滑动，它们共同向右运动的最大加速度是多大?
(2)如果要使A、B间不发生相对滑动，水平推力的大小应在什么范围内才行?
解析：(1)在水平推力F作用下，A、B共同加速运动，则F=2ma ①
分别隔离A、B，受力如图所示，、为A、B间相互作用的弹力，与斜面垂直．
对A列方程：F－sinθ=ma ②
=mg－cosθ ③
对B列方程：sinθ=ma ④
=mg＋cosθ
当增大F时，由式①知a增大，则由式④知、均增大，从式③知增大，减小．
当=0时，对应的加速度a′为A、B不发生相对滑动的临界条件．当a″>a′时，A、B间的相互作用力FT也增大，FTcosθ>mg，对A有竖直向上的加速度，则A被挤离地面．
则当=0时，对A有cosθ=mg，
对B有sinθ=ma′
解得a′=gtanθ，a′为A、B共同向右运动的最大加速度．
(2)对整体F=2ma，且a的最大值为a′=gtanθ，则A、B不发生相对滑动的水平推力的最大值为F≤2mgtanθ．又因为地面光滑，F>0即可使A、B产生共同加速度．
F的取值范围是：0<F≤2mgtanθ．
3、一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度．如图所示．现让木板由静止开始以加速度a(a<g)匀加速向下运动．求经过多长时间木板开始与物体分离．
解析：当m与板分离时，m与板间无弹力作用，且加速度为a，由牛顿第二定律得：
mg－kx=ma ①
因m与板分离前做匀加速运动，
所以有 ②
由①②式解得．
4、如图所示，质量为m的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体的质量为M，斜面与物块无摩擦，地面光滑．现对斜面施一个水平推力F，要使物体相对斜面静止，力F应为多大?
解析：两物体无相对滑动，说明两物体加速度相同，方向水平．对于物块m，受两个力作用，其合力水平向左．先选取物块m为研究对象，求出它的加速度，它的加速度就是整体加速度．再根据F=(m＋M)a，求出推力F．
选择物块为研究对象，受两个力，重力mg，支持力FN，且二力合力方向水平．
由图可知：
mgtanθ=maa=gtanθ
再选整体为研究对象，由牛顿第二定律得：
F=(m＋M)a=(m＋M)gtanθ
5、如图所示，质量为M的木板上放着一质量为m的木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与水平地面间的动摩擦因数为μ2，加在木板上的力F为多大，才能将木板从木板下抽出?
解析：只有当M和m发生相对滑动时，才有可能将M从m下抽出，此时对应的临界状态是：M与m间的摩擦力达到最大静摩擦力Fm，且m运动的加速度为二者共同运动时的最大加速度am．隔离m，根据牛顿第二定律有
am就是系统在此临界状态下的加速度．设此时作用于M上的力为F0，对系统整体，根据牛顿第二定律有：
F0－μ2(M＋m)g=(M＋m)am
即F0=(μ1＋μ2)(M＋m)g
当F>F0时必能将M抽出，故
F>(μ1＋μ2)(M＋m)g
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6、如图所示，一细线的一端固定于倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球．试求当滑块以a=2g的加速度向左运动时线中的拉力FT．
解析：本题中当滑块向左运动的加速度较小时，滑块对小球存在支持力；当滑块向左运动的加速度较大时，小球将脱离滑块斜面而“飘”起来．因此，本题存在一个临界条件：当滑块向左运动的加速度为某一临界值时，斜面对小球的支持力恰好为零(小球将要离开斜面而“飘”起来)．我们首先求此临界条件．此时小球受两个力：重力mg；绳的拉力FT．根据牛顿第二定律的正交表示，有
FT·cosθ=ma ①
FT·sinθ－mg=0 ②
联立①②两式并将θ=45°代入，得a=g，
即当斜面体滑块向左运动的加速度为a=g时，小球恰好对斜面无压力．
当a>g时，小球将“飘”起来，当a=2g时，小球已“飘”起来了，此时小球的受力情况也正如图所示，故根据①②两式并将a=2g代入，解得．
此即为所求线中的拉力．
7、一小圆盘静止在桌布上，位于方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB边重合，如图所示，已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2，现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么?(以g表示重力加速度)
解析：设圆盘的质量为m，桌长为l，在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为a1，有
μ1mg=ma1
桌布抽出后，盘在桌面上做匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有
μ2mg=ma2
设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下，有
v12=2a1x1，v12=2a2x2
盘没有从桌面上掉下的条件是
x2≤－x1
设桌布从盘下抽出所经历的时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有
8、一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连．小球某时刻正处于如图所示状态．设斜面对小球的支持力为N，细绳对小球的拉力为T，关于此时刻小球的受力情况，下列说法正确的是（ ） A．若小车向左运动，N可能为零 B．若小车向左运动，T可能为零 C．若小车向右运动，N不可能为零 D．若小车向右运动，T不可能为零
8、一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连．小球某时刻正处于如图所示状态．设斜面对小球的支持力为N，细绳对小球的拉力为T，关于此时刻小球的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．若小车向左运动，N可能为零 B．若小车向左运动，T可能为零 C．若小车向右运动，N不可能为零 D．若小车向右运动，T不可能为零
A．若小车向左运动，N可能为零
B．若小车向左运动，T可能为零
C．若小车向右运动，N不可能为零
D．若小车向右运动，T不可能为零
解析：小球相对于斜面静止时，与小车具有共同加速度，如图甲、乙所示，向左的加速度最大则T=0，向右的加速度最大则N=0，根据牛顿第二定律，合外力与合加速度方向相同沿水平方向，但速度方向与力没有直接关系．
答案：AB
-END-
、
为A、B间相互作用的弹力，与斜面垂直．
sinθ=ma ②
=mg－
cosθ ③
sinθ=ma ④
=mg＋
cosθ
、
均增大，从式③知
增大，
减小．
=0时，对应的加速度a′为A、B不发生相对滑动的临界条件．当a″>a′时，A、B间的相互作用力F
=0时，对A有
cosθ=mg，
sinθ=ma′
②
．
a=gtanθ
．
－x
