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例、AB两个厂距一条河分别为400m和100m,AB两厂之间距离500m,把小河看作一条直线,今在小河边上建一座提水站,供A,B两厂用水,要使提水站到A,B两厂铺设的水管长度最短,问提水站应建在什么地方?
分析:
这是一个对称问题,点A关于河的对称点与点B的连线交小河于点P,则有+|PB|=|PA|+|PB|,此点即为所求.
解:
如图,以小河所在直线为x轴,过点A的垂线为y轴,建立直角坐标系,则点A(0,400),点B(a,100),过B作于点C.
在中,AB=500,AC=400-100=300,由勾股定理得BC=400, ∴B(400,100),点A(0,400)关于x轴的对称点(0,-400),由两点式得直线的方程为,令y=0,得x=320,即点P(320,0). 故提水站建在正向距离O点320m处时,到A,B两厂的水管长度之和最短.
在中,AB=500,AC=400-100=300,由勾股定理得BC=400,
∴B(400,100),点A(0,400)关于x轴的对称点(0,-400),由两点式得直线的方程为,令y=0,得x=320,即点P(320,0).
故提水站建在正向距离O点320m处时,到A,B两厂的水管长度之和最短.
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