| 两条直线的交点坐标 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组
. 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．
二、例题讲解
例1、三条直线
，
，
能构成三角形，求实数a的取值范围．
解：
因为三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点．
（1）
相交于同一点，则
与
的交点（1，－a－1）在直线
上，于是1＋a(－a－1)＋1=0，此时a=1（舍）或a=－2．
（2）
．
（3）
（4）
故
能构成三角形时，a∈R且a≠±1，a≠－2．
注：①
.
②
.
③
.
例2、求经过两已知直线
：
和
：
的交点及点
的直线
的方程．
解：
经过
和
的交点的直线系方程为
，
又直线过点
，把点
的坐标代入上面方程得：
，∴
．
于是直线
的方程为
．
注：
若
相交，则过
（不包括
例3、已知直线
. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限．
证明：
应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为
．
令
.
∴直线系恒过第一象限内的定点（
，
）．
所以，无论a为何值时直线总经过第一象限．
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