空间中的点、直线、平面之间的位置关系 平面同步测试
一、选择题
1、以下四个命题中，正确命题的个数是（ ） ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 2、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么（ ） A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上 C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上 3、如图所示，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，Cl，则平面ABC与平面β的交线是（ ）
1、以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
2、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么（ ）
A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上 C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上
3、如图所示，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，Cl，则平面ABC与平面β的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 4、下列命题中正确的有几个（ ） ①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线； ②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5、已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点（ ） A．成钝角三角形 B．成锐角三角形 C．成直角三角形 D．在一条直线上
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
4、下列命题中正确的有几个（ ）
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线； ②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；
②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5、已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点（ ）
A．成钝角三角形 B．成锐角三角形 C．成直角三角形 D．在一条直线上
A．成钝角三角形 B．成锐角三角形
C．成直角三角形 D．在一条直线上
提示：
1、①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．
2、平面ABC∩平面ACD=AC，M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC．
3、由题意，D∈l，lβ，∴D∈β．
又D∈AB，∴D∈平面ABC，
即D在平面ABC与平面β的交线上．
又C∈平面ABC，C∈β，
∴点C在平面β与平面ABC的交线上．
从而有平面ABC∩平面β=CD．
4、在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以lα，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．
5、D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理知，D、E、F共线．
二、填空题
6、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为__________（注：把你认为正确的结论的序号都填上）． 7、空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD=1，则AC的取值范围是__________．
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为__________（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为__________（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
7、空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD=1，则AC的取值范围是__________．
提示：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
7、（0，）
提示：如图①所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC=0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC=，如图②，故AC的取值范围是0＜AC＜．
三、解答题
8、如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题： （1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？ （2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？ （3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？
8、如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题：
（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？ （2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？ （3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？
（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？
（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？
（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EHBD，同理，FGBD．
从而EHFG，所以四边形EFGH为平行四边形．
（2）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC时，四边形EFGH为矩形．
（3）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，AC=BD时，四边形EFGH为正方形．
9、证明两两相交且不过同一点的四条直线必在同一个平面内．
9、证明：（1）设直线两两相交，不过同一点且无三点共线，
设
∴由确定平面．
同理可证．所以直线共面．
（2）若有三线共点，设相交于，=D，所以与可确定平面于是得，同理可证，所以直线共面．
10、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．
10、证明：如图，连结BD、B1D1，则BD∩AC=O，
∵BB1//DD1，∴四边形BB1D1D为平面图形且为平行四边形，又H∈B1D，B1D平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，又∵H∈平面ACD1，且平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线．
11、如图，空间四边形ABCD中，对角线为AC和BD，点E、F、G、H、M、N分别为AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点. 求证：线段EG、FH、MN必交于一点，且被该点平分.
11、如图，空间四边形ABCD中，对角线为AC和BD，点E、F、G、H、M、N分别为AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点.
求证：线段EG、FH、MN必交于一点，且被该点平分.
11、证明：连接EF、FG、GH、HE．
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥GH，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
设EG∩FH=O，则O点平分EG、FH；
同理四边形MFNH是平行四边形，
设MN∩FH=O′，则O′平分MN、FH．
即点O与O′都是FH的中点，
从而两点重合，
即MN也过EG与FH的交点，
∴三条线段相交于一点O，且被O点平分．
-END-
l，则平面ABC与平面β的交线是
β，∴D∈β．
）
，如图②，故AC的取值范围是0＜AC＜
．
BD，同理，FG
BD．
FG，所以四边形EFGH为平行四边形．
两两相交，不过同一点且无三点共线，
确定平面
．
．所以直线
共面．
相交于
，
=D，所以
与
可确定平面
于是得
，同理可证
，所以直线
共面．
