空间直线与直线间的位置关系同步测试
一、选择题
1、设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ） A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC 2、ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（ ） A．AC、BD之一垂直 B．AC、BD都垂直 C．AC、BD都不垂直 D．AC、BD不一定垂直 3、如图，已知E、F分别为正四面体ABCD所在棱的中点，则异面直线AC与EF所成的角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4、如图在正四面体D－ABC中，P∈面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 5、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
1、设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
2、ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（ ）
A．AC、BD之一垂直 B．AC、BD都垂直 C．AC、BD都不垂直 D．AC、BD不一定垂直
A．AC、BD之一垂直 B．AC、BD都垂直
C．AC、BD都不垂直 D．AC、BD不一定垂直
3、如图，已知E、F分别为正四面体ABCD所在棱的中点，则异面直线AC与EF所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4、如图在正四面体D－ABC中，P∈面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
5、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
A．3 B．4
C．5 D．6
提示：
1、A中若AC与BD共面，则A、B、C、D四点同时在同一个平面内，由公理1知AD与BC共面；同理可知B正确；C中ABCD可构成一个空间四边形，这个空间四边形的四条边长相等，但它的对角线长不一定相等，故C不正确；D中分ABCD共面和不共面易证成立．
2、∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB，则AN＝CN，在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC．同理可证MN⊥BD．
3、如图，取BC中点G，连结EG，FG，则∠GEF为异面直线AC与EF所成角，∵EG=AC=BD=GF，又可证AC⊥BD，∴∠EGF=90°，则∠GEF=45°．
4、过P分别作BD，AB的平行线即可．
5、根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．
二、填空题
6、如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_________对． 7、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为_________．
6、如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_________对．
7、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为_________．
6、3
提示：原来的正方体应为下图．
其中AB与CD、AB与GH、EF和GH三对异面直线．
三、解答题
8、如图，已知不共面的直线相交于O点，M，P是直线a上的两点，N，Q分别是上的一点． 求证：MN和PQ是异面直线．
8、如图，已知不共面的直线相交于O点，M，P是直线a上的两点，N，Q分别是上的一点．
求证：MN和PQ是异面直线．
8、证明：假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为，
∵，∴，又，∴，
∵，
∴，
同理，∴a，b，c共面于，与已知a，b，c不共面相矛盾，
所以，MN和PQ是异面直线．
9、如图，空间四边形ABCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD， 求证：△EFG∽△BCD．
9、如图，空间四边形ABCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD，
求证：△EFG∽△BCD．
9、证明：在△ABD中，
∵AE∶AB=AG∶AD， ∴EG∥BD．同理，GF∥DC，EF∥BC． 又∠GEF与∠DBC方向相同． ∴∠GEF=∠DBC． 同理，∠EGF=∠BDC． ∴△EFG∽△BCD．
∵AE∶AB=AG∶AD，
∴EG∥BD．同理，GF∥DC，EF∥BC．
又∠GEF与∠DBC方向相同．
∴∠GEF=∠DBC．
同理，∠EGF=∠BDC．
∴△EFG∽△BCD．
10、在长方体ABCD－A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1上)． (1)过P点在空间中作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由； (2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈(0，]，这样的直线有几条，应该如何作图？
10、在长方体ABCD－A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1上)．
(1)过P点在空间中作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈(0，]，这样的直线有几条，应该如何作图？
10、解：(1)连结B1D1，在平面A1C1内过P作直线l，
使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD．
(2)在平面A1C1内作直线m，
使直线m与B1D1相交成α角，
∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，
即直线m为所求作的直线．
由图知m与BD是异面直线，
且m与BD所成的角α∈(0，]．
当α＝时，这样的直线m有且只有一条，
当α≠时，这样的直线m有两条．
11、正方体的棱长为，求： （1）CC1和BD1所成的角的正弦值； （2）求B1C1和BO的所成的角的余弦值（O是上底面的中心）． （3）M、N分别为棱A1A和B1B的中点，求直线CM与D1N所成的角的正弦值．
11、正方体的棱长为，求：
（1）CC1和BD1所成的角的正弦值；
（2）求B1C1和BO的所成的角的余弦值（O是上底面的中心）．
（3）M、N分别为棱A1A和B1B的中点，求直线CM与D1N所成的角的正弦值．
11、解：如图．
（1），则与所成的角为，就是和所成的角．
在中，.
（2），即为与成的角，
又
与所成的角的余弦值为．
（3）取的中点，连接，如图所示，
是平行四边形，∴D1N∥BE．
又四边形是平行四边形，
是对角线，设其相交于点O1．则的夹角即为与所成的角，设为．是矩形，．
-END-
AC=
相交于O点，M，P是直线a上的两点，N，Q分别是
上的一点．
，
，∴
，又
，∴
，
，
，
，∴a，b，c共面于
，与已知a，b，c不共面相矛盾，
]，这样的直线有几条，应该如何作图？
]．
时，这样的直线m有且只有一条，
时，这样的直线m有两条．
的棱长为
，求：
，则
与
所成的角为
，就是
和
所成的角．
中，
.
，
即为
与
成的角，
与
所成的角的余弦值为
．
的中点
，连接
，如图所示，
是平行四边形，∴D
四边形
是平行四边形，
是对角线，设其相交于点O
的夹角即为
与
所成的角，设为
．
是矩形，
．
