| 直线与平面的位置关系 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
1、空间直线与平面
直线与平面的位置关系有且只有三种：
(1)直线在平面内：有无数个公共点；
(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；
(3)直线与平面平行：没有公共点．
2、直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．
3、直线与平面平行的性质
(1) 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．实际上，如果一条直线和一个平面平行，这条直线和平面内的直线平行或异面，有两种位置关系．
4、直线与平面垂直的判定
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．
注意：①定义中的“任意一条直线”和“所有直线”是同义语，不能改成“无穷多条直线”．
②如果
或
，那么直线l不可能与平面α内的任意一条直线都垂直．由此可知，当
时，直线l和α一定相交，它们唯一的交点叫做垂足．
(2)直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
(3)关于垂直的存在唯一性
命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．
命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．
(4)点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离.
5、直线与平面垂直的性质
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
作用：可作线线平行的判定定理．
6、直线与平面所成的角
(1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角．
(2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为90°．
(3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为0°．
显然，直线与平面所成的角的范围为[0°，90°]．
例1．下列说法正确的是（ ）
A．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则
B．若直线a在平面α外，则
C．若直线a//b，直线
，则
D．若直线a//b，直线
，则直线a平行于平面α内的无数条直线
答案：D
例2．如图，E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G．求证：EH//FG.
证明：
∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH//BD.
又BD
面BCD，EH
面BCD，
∴EH//面BCD．
又EH
，
面BCD＝FG，
∴EH//FG.
例3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1．
证明：
如图，连接AE、CE、D1O、D1E．
∵AB=BC，B1B⊥面ABCD．∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE．
又O为AC的中点，∴OE⊥AC．
设正方体棱长为a．
，
，
．
，
．
面ACD1，
∴OE⊥面ACD1．
例4．P是△ABC外的一点，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3，则△ABC的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
过C作CD⊥AB，连接PD．
由题意PC⊥平面PAB，∴PC⊥AB，∴AB⊥平面PCD．
∴AB⊥PD，
．
，
．
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