球的表面积与体积同步测试
一、选择题
1、如果两个球的体积之比为，那么两个球的表面积之比为（ ） A． B． C． D． 2、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A．32π B．16π C．12π D．8π 3、已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB=3，∠AOB=120°，则球的体积为（ ） A． B．4π C．36π D．32π 4、三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为（ ）
1、如果两个球的体积之比为，那么两个球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
A． B．
C． D．
2、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）
A．32π B．16π C．12π D．8π
A．32π B．16π
C．12π D．8π
3、已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB=3，∠AOB=120°，则球的体积为（ ）
A． B．4π C．36π D．32π
A． B．4π
C．36π D．32π
4、三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 5、已知一个几何体的正视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6、三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1、、，则此三棱锥的外接球表面积为（ ） A．6π B．12π C．18π D．24π
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
A．7 B．7.5
C．8 D．8.5
5、已知一个几何体的正视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）
6、三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1、、，则此三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．6π B．12π C．18π D．24π
A．6π B．12π
C．18π D．24π
提示：
1、．
2、由三视图可知几何体是半径为2的半球，故其表面积应为半球的表面积与底面圆的面积之和，即S=2πR2＋πR2=3πR2=12π．
3、△AOB为等腰三角形，∠AOB=120°，AB=3，通过解三角形解出OA和OB，即OA=OB=R=，从而求出球的体积4π，故选B．
4、设球的半径为R，，R=5．设小圆半径为r，πr2=16π，∴r=4．当三棱锥的高过球心O时，取得最大值，OO1==3，PO1=5＋3=8，故选C．
5、由三视图知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥，其外接球的直径为．
6、．
二、解答题
7、表面积为的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．
7、解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，
则作轴截面如图，，， 又∵，∴， ∴， ∴， ∴．
则作轴截面如图，，，
又∵，∴，
∴，
∴．
8、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．
8、解：作轴截面如图所示，
，，
设球半径为，
则
∴，∴，．
9、设棱长为2R的立方体容器中装满水，先把半径为R的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入二球后溢出的水量与容器容量之比．
9、解：作出正方体的对角面，则在对角线的中点处，要使第二球放入后溢出水最多，则也在上，设小球半径为，
，
所以放入二球后溢出的水量与容器容量之比为：．
10、正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切（如图）．求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的表面积与体积．
10、解析：（1）底面正三角形内中心到一边的距离为，
则正棱锥侧面的斜高为
（2）设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O，连接OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r．
-END-
，那么两个球的表面积之比为
B．
D．
B．4
π
的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为
B．
D．
、
，则此三棱锥的外接球表面积为
．
，从而求出球的体积4
π，故选B．
，R=5．设小圆半径为r，πr
=3，PO
的圆锥，其外接球的直径为
．
．
的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．
，
，
，∴
，
，
，
．
，求球的表面积和体积．
，
，
，
，∴
，
．
在对角线
的中点处，要使第二球放入后溢出水最多，则
也在
上，设小球半径为
，
，
．
，内有一个球与它的四个面都相切（如图）．求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的表面积与体积．
，
