| 随机事件的概率与意义 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
甲、乙两人同掷一枚硬币．规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注．假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理．
帕斯卡：若再掷一次，甲胜，甲获全部赌注所以这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注；两种情况可能性相同，甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4．
费马：结束赌局至多还要2局，结果为4种等可能情况：
情况 1 2 3 4
胜者 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙
前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注．所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4．
帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题．虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的．
一、知识概述
1、事件的定义：
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；
必然事件：在一定条件下必然发生的事件；
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．
说明：三种事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的性质也可以发生变化．
2、在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数
为事件A出现的频数（frequency），称事件A出现的比例
为事件A出现的频率（relative frequency）．
3、概率
概率(probability)是用来度量随机事件发生的可能性大小的量，能为决策提供关键性的依据．对于给定的随机事件A，随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定于概率P(A)．
随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验的增多，这种摆动的幅度越来越小，因而我们说，概率是频率的稳定值．
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律，概率是随机事件可能性大小的度量，它反映了随机事件发生可能性的大小．
概率是一种可能性，它通过频率估算一个随机事件发生的可能性，可以看作频率理论上的期望值．
体验1、解释下列概率的含义．
（1）某厂产品的合格率为0.9；
（2）一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2．
体验2、有人说，既然抛掷一枚质地均匀地硬币出现正面的概率是0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面向上，一次反面向上．你认为这样的说法正确吗？
4、决策中的概率思想（极大似然法）
如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判断正确的可能性也最大．这种判断问题的方法为似然法．似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
体验3、在使用计算机输入法时，英语中某些字母出现的概率远远高于另一些字母，进一步深入研究之后，人们还发现各字母被使用的频率相当稳定．下面就是英文字母使用频率的一份统计表：
字母
空格
E
T
O
A
N
I
R
S
频率
0.2
0.105
0.071
0.0644
0.063
0.059
0.054
0.053
0.052
字母
H
D
L
C
F
U
M
P
Y
频率
0.047
0.035
0.029
0.023
0.0221
0.0225
0.021
0.0175
0.012
字母
W
G
B
V
K
X
J
Q
Z
频率
0.012
0.011
0.0105
0.008
0.003
0.002
0.001
0.001
0.001
请你用概率的知识解释一下计算机键盘设计成现在形状的原因．由此，请对汉字的重码问题的设计谈谈你的体会．
二、例题讲解
例1、下列说法不正确的是（ ）
A．不可能事件的概率为0，必然事件的概率是1
B．某人射击10次，击中靶8次，则他击中靶的概率为0.8
C．“直线y＝k(x＋1)过定点(－1，0)”是必然事件
D．“若a>b，c>d，则a＋d>b＋c”是随机事件
答案：B
例2、从存放号码分别为1，2，3，……，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到的号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
解：
取到卡片的号码为奇数的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为
＝0.53．选A．
答案：A
例3、抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率．
解：
在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，因此同时掷两颗骰子的结果共有
种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有
，共5种，所以，所求事件的概率为
．
例4、如果10次掷一枚骰子，结果都出现1点，你认为这枚骰子质地均匀吗？
解：
利用概率知识可以进行推断，如果它是均匀的，通过试验和观察，可以发现各个面出现的可能性都应该是
，从而连续10次出现1点的概率为
≈0.000000016538，这在一次试验中几乎是不可能发生的．而当骰子不均匀时，特别是当6点的那一面比较重时，出现1点的概率最大，更有可能连续10次出现1点．因此可以断定这枚骰子不均匀．
例5、在作抽样调查时我们总是许诺说：“绝对会对你保守秘密．”但是被访者往往心有疑虑，在统计行业中还不能达到像记者行业那样为当事人绝对保密时，这样的怀疑是理所当然的．但是我们的数据会因此失真，为了得到真实的回答只能千方百计得到他们的信任，降低问卷的敏感程度．
请从概率知识角度，分析如何得到敏感问题的诚实回答？
解：
1965年Stanley. L. Warner发明了一种应用概率的初等概念来消除不信任情绪的方法．这种方法要求被访人随机地选答两个问题中的一个，而不必告诉被访者回答的是哪个问题，两个问题中一个是敏感问题，一个是无关紧要的问题．被采访人愿意如实回答，因为只有他们自己知道回答的是哪个问题．
比如，无关紧要的问题是：“你的学号的最后一位是奇数吗？”，另一个问题是“此次考试你作弊了吗？”．然后你要求被访人掷一枚硬币，如果得到正面则回答前一个问题，如果是反面应回答后一个问题，当然调查人员不知道他们掷硬币的结果．
假设我们采访了200人，并得到了64个“是”的回答．因为掷硬币的正反面概率各是0.5，所以我们期望100人回答前一个问题，因为学号号码最后一位是奇数或偶数的概率也各是0.5，所以100人中有50人回答“是”．因此回答敏感问题的100人中有64－50＝14人回答“是”．由此可知被访人群约有14/100＝14%考试作弊了．
高一全科点睛班课程 高一全科强化班课程 高二全科全年强化班 高三全科强化班课程 初一全科强化班课程 初一全科点睛班课程 初二全科强化班视频 初二全科点睛班课程 初三全科强化班 全科巨无霸同步提高课程 小学全年全科强化班
- 返回 -
