| 古典概型 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马．现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上（含两场）即为获胜．如双方均不知对方的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？
1、基本事件的定义
实际生活中，在完全相同的综合条件下，事件出现的结果往往是不相同的．为了叙述的方便，我们把条件每实现一次，叫做进行一次试验，试验的结果中所发生的现象叫做基本事件（elementary event）．
注意：（1）基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用它们来表示；（2）所有的基本事件都有有限个；（3）每个基本事件的发生都是等可能的．
2、基本事件的特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只能出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生．因而，任何两个基本事件都是互斥的．
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
如在抛掷硬币的试验中，必然事件由基本事件“正面向上”和“反面向上”组成；在掷骰子试验中，随机事件“出现偶数点”由基本事件“出现2点”、“出现4点”、“出现6点”共同组成．相对于基本事件，由以上基本事件组成的随机事件称为复杂事件．
例1、判断下列命题是否正确
（1）掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三种结果；
（2）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
（3）分别从3名男同学，4名女同学中各选一名代表，男、女同学当选的可能性相同；
（4）5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性不同．
分析：
以上命题均不正确．
（1）应为四种结果，还有一种是“一反一正”；
（2）摸到红球的概率为
，摸到黑球的概率为
，摸到白球的概率为
；
（3）男同学当选的概率为
，女同学当选的概率为
；
（4）抽签有先后，但每人抽到某号的概率是相同的．假设5号签为中奖签，甲先抽到中奖签的概率为
；乙接着抽，则乙抽到5号签的概率为
．
3、古典概率模型的定义
对于一个试验，如果具有
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
通常称具有这两个特点的概率模型为古典概率模型（classical models of probability），简称古典概型．
古典概型是一种特殊的概率模型，其特征是：
（1）有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．
注：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．
例如，投掷一个均匀的骰子，出现点数1，2，3，4，5，6都是等可能的，因而，掷均匀的骰子是一个等可能试验，是一古典概型．如果有人将骰子做了手脚，使其变得不均匀，显然，掷骰子就不是古典概型了．
4、基本事件的概率
（1）基本事件的概率
一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件总个数为n，A为一个基本事件，则
证明：设试验的n个基本事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两互斥的，所以有P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）=P（A1∪A2∪…∪An）=P（必然事件）=1．
又因为每个基本事件发生的可能性相等，即
P（A1）=P（A2）=…=P（An），∴nP（A1）=1，即
．
（2）古典概型的概率公式
如果随机事件A包含的基本事件数为m，则
证明：由互斥事件概率的加法公式可得：
，
所以，在古典概型中，
注：求P（A）的步骤：
1°判断事件A是否为古典概型；
2°求事件A的基本事件的总个数n；
3°算出事件A中包含的基本事件的个数m；
4°求事件A的概率，即
．
用公式求概率时，关键在于求m、n．在求n时，应注意这n个结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．在求m时，可结合图形采取列举法，数出事件A发生的结果数．
例2、抛掷两枚骰子，求：
（1）点数之和是4的倍数的概率；
（2）点数之和大于5而小于10的概率．
解：
基本事件总数n=36．
（1）记事件A={点数之和是4的倍数}，则A包含的基本事件有9个：（1，3），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6）．所以
；
（2）记事件B={点数之和大于5而小于10}，则B包含的基本事件共20个：（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3）．所以
．
例3、技术监督部门为了检查某厂的产品质量，特从该厂的成品中抽取部分产品进行检验，抽查部分产品的情况如下表：
抽取产品数n
20
50
100
200
500
1000
优等品数m
18
48
96
193
473
952
优等品频率
（1）请根据相关数据完成表格中的内容；
（2）确定该产品为优等品的概率；
（3）技术监督部门规定，非优等品必须全部回收加工．假设该厂每月的产品的产量为6.2万件，请问，该厂每月必须回收的非优等品数？
解析：
（1）表中第三行的数据分别为0.9，0.96，0.96，0.965，0.946，0.952．
（2）根据（1）的频率，优等品的频率接近于常数0.95，并在它附近摆动，故优等品的概率为0.95．
（3）优等品的概率为0.95，则非优等品的概率为0.05．该厂每月必须回收的非优等品的数量为62000×0.05=3100（件）．
例4、（1）从含有两件正品a1、a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的每件产品中恰有一件次品的概率；
（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，求取出的两件中恰有一件次品的概率．
解：
（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，某一次可能的结果组成的基本事件的集合为Ω={（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，Ω由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A={（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，事件A由4个基本事件组成，因而
．
（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件的集合为：Ω={（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，由9个基本事件组成，由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的，用B表示“恰有一件次品”这一事件，则
B={（a1，b1），（a2，b1），（b1，a2），（b1，a1）}．
事件B由4个基本事件组成，因而
．
例5、班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
（2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
解：
（1）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果（如下图所示）：
由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且 A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得
，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7．
（2）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用（2，4）来表示，所有的可能结果可以用下表列出．
1
2
3
4
5
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率
．
例6、设函数
是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求f（x）＞b恒成立的概率．
解：
x＞1，a＞0，
．
于是
恒成立．设事件A：“
恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个，由古典概型得
．
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