| 几何概型 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability），简称几何概型．
联想·扩散
准确理解几何概型定义
要准确理解几何概型的定义，要注意定义中的两个关键词：“无限性”，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；“等可能性”，即每个基本事件发生的可能性是均等的．
对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地取一点，该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点．这里的几何区域可以是线段，也可以是平面图形、立体图形．这样，我们就把随机事件与几何区域联系在一起了．
2、几何概型的特点
（1）无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
3、几何概型与古典概型的区别
（1）相同点：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的；
（2）不同点：古典概型要求基本事件的个数是有限多个；几何概型要求基本事件的个数是无限多个．
几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图所示），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）有关，而与g的位置和形状无关．则关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P为：g的度量与G的度量之比，即
．
我们把每个基本事件理解为某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型可以用几何概型来求解．
二、例题讲解
例1、取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大？
解：
如图，记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的
，所以事件A发生的概率
．
例2、如下图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率为__________．
解：
射线落在直角坐标系内的任何一个位置都是等可能的，
故射线OA落在∠xOT内的概率为
．
答案：
例3、在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果在该矩形内随机找一点P，那么使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率为__________．
解：
取AD的三等分点E′、F′，取BC的三等分点E、F，连接EE′、FF′，如图所示．因为AD＝3，所以可知BE＝EF＝FC＝AE′＝E′F′＝F′D＝1.又AB＝2，所以当点P落在虚线段EE′上时，△ABP的面积等于1，当点P落在虚线段FF′上时，△CDP的面积等于1，从而可知当点P落在矩形EE′F′F内（包括边界）时△ABP和△CDP的面积均不小于1，故可知所求的概率为P＝
．
例4、如图，在墙壁上挂着一块正方形飞镖板，其边长为16cm，上面的几个圆圈，分别是半径为2cm，4cm，6cm的同心圆．某人站在3m之外投掷飞镖，设飞镖投中线上或没有投中飞镖板都不算，可重投，问：
（1）投中大圆内的概率是多少？
（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
（3）投中大圆之外的概率是多少？
解：
记A={投镖投中大圆内}，B={投镖投中小圆与中圆形成的圆环}，C={投镖投中大圆之外}，S正方形=162=256（cm2），S大圆=π×62=36π（cm2），S中圆=π×42=16π（cm2），
S小圆=π×22=4π（cm2），所以：
所以，（1）投中大圆内的概率是
；（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是
；（3）投中大圆之外的概率是
．
例5、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
解：
以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的等价条件是|x－y|≤15．在如下图所示平面直角坐标系内，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．
由几何概型的概率公式得：
．
所以，两人能会面的概率是
．
例6、设有一4×4正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点；
求：（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；
（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率．
解：
（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为
P1＝
.
（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率为P2＝
.
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课程名称 |
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