| 系统抽样 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、系统抽样：当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．
2、系统抽样的步骤：
①采用随机的方式将总体中的个体编号．为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，等等．
②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k．当
（N为总体中的个体的个数，n为样本容量）是整数时，k=
；当
不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数能被n整除，这时k=
．
③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号
．
④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将
加上间隔k，得到第2个编号
＋k，第3个编号
＋2k，这样继续下去，直到获取整个样本）．
说明：①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的；
③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样．
3、系统抽样与简单随机抽样的区别与联系
系统抽样与简单随机抽样相比，有如下区别：
（1）系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约成本．
（2）系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关；而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关．如果编号的特征随编号的变化呈现一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性很差．如，如果学号按照男生单号女生双号的方法编排，那么，用系统抽样的方法抽取样本就可能会是全部为男生或全部为女生．
（3）系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广．
联系是：（1）系统抽样适用于总体中的个体较多的情况，因为这时应用简单随机抽样就显得很不方便；
（2）系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
（3）与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等概率抽样．
二、例题讲解
例1、在10000个有机会中奖的号码（编号为0000～9999）中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位是68的号码为中奖号码，这是运用哪种抽样方式来确定号码的（ ）
A．抽签法 B．系统抽样
C．随机数表法 D．其他抽样方法
解：
由题意可知抽出的号码分别为0068，0168，0268，……，9968，显然这是将10000个中奖号码平均分成100组，从第一组抽取了0068号，其余号码在此基础上加上100的倍数得到的，可见这是采用系统抽样法．
答案：B
例2、一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，……，99．依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，……，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同，若t=7，则在第8组中抽取的号码应是________．
答案：75
例3、为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，应采用什么抽样方法恰当？简述抽样过程．
解：
假设抽取50名学生．适宜选用系统抽样，抽样过程如下：
（1）随机地将这1000名学生编号为1，2，3，…，1000．
（2）将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．
（3）在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18．
（4）以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，58，…，978，998．
例4、为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本．
解：
（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体．
（2）再按系统抽样的方法抽取．
例5、某制罐厂每小时生产易拉罐10000个，每天生产时间为12小时，为了保证产品的合格率，每隔一段时间要抽取一个易拉罐送检，工厂规定每天共抽取1200个进行检测，请你设计一个抽样方案．若工厂规定每天共抽取980个进行检测呢？
解：
每天共生产易拉罐120000个，共抽取1200个，所以分1200组，每组100个，然后采用简单随机抽样法从001～100中随机选出1个，再每隔100个，拿出1个送检，或者根据每小时生产10000个，每隔
×3600=36秒拿出1个易拉罐送检．
若共要抽取980个进行检测，则要分980组，但980不能整除120000，则先计算出120000除以980的整数部分是122，所以先要剔除120000－980×122=440个，剩下119560个平均分为980组，每组122个，然后采用简单随机抽样法从001～122中随机选出1个编号，例如选出的是108号，可以从第108个易拉罐开始，每隔122个，拿出1个送检，或者根据每小时生产10000个，每隔
×3600=43.92秒拿出一个易拉罐送检．
例6、下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：
本村人口：1200人，户数300，每户平均人口数4人；
应抽户数：30户；
抽样间隔：
；
确定随机数字，取一张人民币，编码的后两位数为12；
确定第一样本户：编码的后两位数为12的户为第一样本户；
确定第二样本户：12＋40=52，52号为第二样本户；
……
（1）该村委会采用了何种抽样方法？
（2）抽样过程中存在哪些问题，并修改．
（3）何处是用简单随机抽样．
解：
（1）系统抽样．
（2）本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为：
，其他步骤相应改为确定随机数字；取一张人民币，编码的后两位数为12，确定第一样本户：编号为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋10=22，22号为第二样本户．
（3）确定随机数字用的是简单随机抽样．取一张人民币，编码的后两位数为12．
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