| 用样本的频数分布估计总体分布（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、频率分布表或频率分布条形图
历史上有人通过作抛掷硬币的大量重复试验，得到了如下试验结果：
试验结果
频数
频率
正面向上（0）
36124
0.5011
反面向上（1）
35964
0.4989
抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体，则上表就是从总体中抽取容量为72088的相当大的样本的频率分布表．尽管这里的样本容量很大，但由于不同取值仅有2个（用0和1表示），所以其频率分布可以用上表和下面的条形图表示．其中条形图是用高来表示取各值的频率．
说明：（1）频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布条形图比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚．
（2）①各长条的宽度要相同；②相邻长条之间的间隔要适当．
当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率值就成为相应的概率，得到下表，除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律．这种整体取值的概率分布规律通常称为总体分布．
试验结果
概率
正面向上（记为0）
0.5
反面向上（记为1）
0.5
说明：频率分布与总体分布的关系：
（1）通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布．
（2）研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布．
2、总体分布：总体取值的概率分布规律．
在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布．一般地，样本容量越大，这种估计就越精确．
3、总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线．
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间（a，b）内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
二、例题讲解
例1、对某班50人进行智力测验，其得分如下：48，65，52，86，71，48，64，41，86，79，71，68，82，84，68，64，62，68，81，57，90，52，74，73，56，78，47，66，55，64，56，88，69，40，73，97，68，56，67，59，70，52，79，44，55，69，62，58，32，58．
（1）这次测试成绩的最大值和最小值是多少？
（2）将[30，100]平分成7个小区间，试画出该班学生智力测验成绩的频率分布图；
（3）分析这个频率分布图，你能得出什么结论？
解：
（1）这次测验成绩中的最小值为32，最大值为97；
（2）7个区间分别为
．每一小区间内的长度是10，统计出各小区间内的数据频数，列表如下：
小区间
频数
1
6
12
14
9
6
2
频率
0.02
0.12
0.24
0.28
0.18
0.12
0.04
频率分布图见视频．
（3）可以看出，该班智力测验成绩大体上呈两头小、中间大、左右基本对称的钟形状态，说明该班学生智力特别好或特别差的是极少数，而智力一般的是多数，这是一种最常见的分布．
例2、（1）一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（2）容量为100的某个样本数据拆分为10组，并填写频率分布表，若前七组频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最大的一组的频率为__________．
解：
（1）已知样本容量为32，该组样本的频率为0.125，并且
．
∴该组样本的频数为0.125×32=4，故而选B．
（2）设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x，则另两组的频率分别为x－0.05，x－0.1．而由频率总和为1得0.79＋（x－0.05）＋（x－0.1）＋x=1，解得x=0.12．故填0.12．
例3、某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的
产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）
A．90 B．75 C．60 D．45
解析：
产品净重小于100克的概率为（0.050＋0.100）×2=0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则
，所以
，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为（0.100＋0.150＋0.125）×2=0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90，故选A．
答案：A
例4、为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（ ）
A．0.27，78 B．0.27，83
C．2.7，78 D．2.7，83
解：
由图象可知，前4组的公比为3，最大频率
，设后六组公差为
，则
，解得：
，后四组公差为－0.05，所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）．
答案：A
例5、在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．
（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）求这两个班参赛的学生人数是多少？
（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？（不必说明理由）
解：
（1）各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05．
∴第二小组的频率为：1.00－（0.30＋0.15＋0.10＋0.05）＝0.40．
∵第二小组的频率为0.40，∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝
．
由此可补全直方图，补全的直方图如图所示．
（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x人．
∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴
＝0.40，解得x＝100（人）．
所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．
（3）九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．
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