| 用样本的频率分布估计总体分布（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、茎叶图
茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎叶图可用来分析单组数据，也可以对两组数据进行比较．茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况．
思考：茎叶图有什么优缺点？
探究：①用茎叶图表示数据有两个突出的优点，一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示．
②缺点：茎叶图只便于表示有两位有效数字的数据，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录），但没有表示两个记录那么直观、清晰．
当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了．因为每一个数据都要在图中占据一个空间，如果数据很多，枝叶就会很长．
2、茎叶图的制作步骤
（1）将所有两位数的十位数字作为“茎”，茎按从小到大顺序排列，茎相同者共用一个茎，再画上竖线作为分界线．
（2）在分界线的另一侧对应茎处，记录下“叶”——个位数字，一般共茎的叶按从小到大（或从大到小）的顺序同行列出．
如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39．
用茎叶图表示，如图所示：
中间的数字表示得分的十位数，旁边的数字分别表示两人得分的个位数．茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况．
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了．
3、几种表示频率分布的方法的优点与不足
（1）频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．
（2）频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．例如，从图中可以清楚地看到，居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的，另外还有一定的对称性．这说明，大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少，但是从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．
（3）频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势．如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．
（4）用茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况．但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．
二、例题讲解
例1、下图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（ ）
A．304.6 B．303.6
C．302.6 D．301.6
解：
由于数字的上下对称性，可以知道将个位数字都看成0时，平均数为300，又个位数字的平均数是
，故平均数是303.6．
答案：B
例2、如图是甲、乙两名射击运动员各射击10次后所得到的成绩的茎叶图（茎表示成绩的环数的整数部分，叶表示小数点后的数字），由图可知（ ）
A．甲、乙中位数的和为18.2，乙稳定性高
B．甲、乙中位数的和为17.8，甲稳定性高
C．甲、乙中位数的和为18.5，甲稳定性高
D．甲、乙中位数的和为18.65，乙稳定性高
解：
求中位数时，必须先将这组数据从小到大或从大到小排列，数据的个数为奇数，则中位数是最中间的一个，若数据的个数为偶数，则中位数是最中间的两个数据的平均数，据此易知两人中位数和为18.2，又分析茎叶图可知乙数据分布比较集中，即乙的稳定性较高．
答案：A
例3、某中学高二（一）班甲、乙两名同学自入学以来每次数学考试成绩情况如下（两人考试总数次数不一定相同）
甲的得分：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101．
画出两人数学成绩茎叶图，请根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
解：
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图，从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学得分除了一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88．因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
例4、某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：
品种A：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，
415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454
品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，
397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430
（1）完成所附的茎叶图.
（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．
解：
（1）茎叶图如图所示：
（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况，而且可以看出每组中的具体数据．
（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克．由此可知，品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高．但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中在平均产量附近．
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