| 用样本的数字特征估计总体的数字特征（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
2、平均距离
所谓“平均距离”，其含义可以作如下理解：
假设样本数据是x1，x2，…，xn，
表示这组数据的平均数，xi到
的距离是|xi－
|(i=1，2，…，n)．
于是样本数据x1，x2，…，xn到
的“平均距离”是
由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差
3、方差：
标准差的平方称为方差．
二、例题讲解
例1、某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2=____________．
解析：
甲班数据的平均值为7，故方差
．
乙班数据的平均值为7，故方差
．
故甲方差较小，为
．
例2、在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
解：
根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.
答案：D
例3、已知样本
的平均数是
，标准差是
，则xy=___________．
解：
，
又
展开得
．
答案：96
例4、数据
的方差为
，平均数为
，则
（1）数据
的标准差为___________，平均数为___________．
（2）数据
的标准差为__________，平均数为___________．
解：
（1）
．
（2）
．
答案：
（1）
，
；（2）
，
例5、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是___________．
解析：
这10个数的中位数为=10.5，
这10个数的平均数为10．
要使总体方差最小，
即(a－10)2＋(b－10)2最小．
又∵(a－10)2＋(b－10)2=(21－b－10)2＋(b－10)2
=(11－b)2＋(b－10)2=2b2－42b＋221，
∴当b=10.5时，(a－10)2＋(b－10)2取得最小值．
又∵a＋b=21，
∴a=10.5，b=10.5．
答案：a=10.5，b=10.5
例6、甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
（1）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
解析：
（1）
[99＋100＋98＋100＋100＋103]=100，
[99＋100＋102＋99＋100＋100]=100，
[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]=
，
[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]=1．
（2）
，故乙机床加工零件的质量更稳定．
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